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Taylorpolynom / Taylorreihe: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:10 Di 20.09.2005
Autor: Plantronics

Hi,

ich möchte gerne den Unterschied zwischen Taylorreihe und Taylorpolynom wissen.
Ist die Taylorreihe einfach die Fortsetzung des Taylorpolynoms bis in das unendliche?
Weiters weiß ich nicht wann die Taylorreihe etwas mit der Funktion zu tun hat, die durch das zugehörige Taylorpolynom angenähert wird?
Meine Idee dazu ist, dass die Taylorreihe die Funktion genau annähert, falls das Restglied gegen 0 geht..
Fragen über Fragen.
Hoffe es kann mir jemand helfen,
Viele Grüße,
   Martin
        
Bezug
Taylorpolynom / Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Di 20.09.2005
Autor: Julius

Hallo Martin!

> ich möchte gerne den Unterschied zwischen Taylorreihe und
> Taylorpolynom wissen.
>  Ist die Taylorreihe einfach die Fortsetzung des
> Taylorpolynoms bis in das unendliche?

[kopfkratz3] Sagen wir es andersherum: Die Taylorpoylnome sind die Partialsummen der Taylorreihe. :-)

>  Weiters weiß ich nicht wann die Taylorreihe etwas mit der
> Funktion zu tun hat, die durch das zugehörige Taylorpolynom
> angenähert wird?

Die Taylorreihe einer unendlich differenzierbaren Funktion kann man immer aufstellen, aber es kann auch sein, dass sie in keinem Punkt konvergiert (sie also den Konvergenzradius $0$ besitzt). Aber selbst wenn der Konvergenzradius positiv ist, ist nicht gewährleistet, dass die Taylorreihe in einer Umgebung des Entwicklungspunktes mit der Funktion selber übereinstimmt. Funktionen, bei denen das der Fall ist (die also unendlich oft differenzierbar ist und die in einer Umgebung eines Entwicklungspunktes mit der konvergenten Taylorreihe übereinstimmen) nennt man analytisch.

Du findest []hier hinreichende Kriterien dafür.

>  Meine Idee dazu ist, dass die Taylorreihe die Funktion
> genau annähert, falls das Restglied gegen 0 geht..

[daumenhoch]

>  Fragen über Fragen.

Hier wird vieles beantwortet, auch mit Beispielen:

[]http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
[]http://www.moses.tu-berlin.de/Mathematik/Analysis3/Themenseitensourcen/TaylorKonvergenzradius/

Liebe Grüße
Julius

Bezug
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