Surjektivität von NxN-->N < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 So 02.11.2008 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: N und NxN sind gleichmächtig.
(Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung f:NxN-->N mit f((a,b))= 2^(a-1)*(2b-1).) |
Hi ich brauche nur einen Tipp um die surjektivität nachzuweisen.
injektivität habe ich schon für die bij. abbildung nachgewiesen, ich komme nur nicht drauf, wie ich surjektivität beweise.
Die Funktion ist ja ein Produkt aus einer Primzahl und einer ungeraden Zahl. Wie gehts dann weiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 So 02.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
denk an die eindeutige primfaktorzerlegung (fundamentalsatz der elementaren zahlentheorie): jede natürliche zahl $n$ lässt sich bis auf reihenfolge eindeutig als produkt von primzahlen schreiben: $n = [mm] 2^{k}\cdot p_1^{\ell_1} \cdot [/mm] ... [mm] \cdot p_m^{\ell_m}$ [/mm] mit [mm] $p_i$ [/mm] verschiedene ungerade primzahlen. kannst du dazu ein urbild unter der abbildung angeben (fasse das produkt $ [mm] p_1^{\ell_1} \cdot [/mm] ... [mm] \cdot p_m^{\ell_m}$ [/mm] als eine ungerade zahl $m$ auf)?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 So 02.11.2008 | | Autor: | Peano08 |
Wie soll ich denn zu der Funktion ein Urbild bestimmen?Wäre nett, wenn du mir einen Ansatz gibst.
|
|
|
| |
|
> Wie soll ich denn zu der Funktion ein Urbild bestimmen?Wäre
> nett, wenn du mir einen Ansatz gibst.
Hallo peano,
Wenn du die Injektivität von f schon nachgewiesen hast,
bliebe also die Surjektivität. Das heisst, es ist zu zeigen,
dass jede natürliche Zahl n sich in der Form
$\ [mm] n=2^{a-1}*(2b-1)$
[/mm]
darstellen lässt. Aufgrund der eindeutigen Primfaktor-
zerlegung ist dies einleuchtend:
Man kann n (auf eindeutige) Weise in ein Produkt aus
einer Zweierpotenz $\ [mm] 2^k\quad (k\in \IN_0)$ [/mm] und einem ungeraden
Faktor u (der also keinen Primfaktor 2 mehr enthält) zerlegen.
Nun sei a=k+1 und $\ [mm] b=\bruch{u+1}{2}$. [/mm] Dann gilt, wie
gewünscht,
$\ [mm] n=2^{a-1}*(2b-1)$ [/mm] mit [mm] a,b\in \IN
[/mm]
Gruß Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Peano08 |
danke, hat mir geholfen
|
|
|
| |
|
sorry,
ich habe hier vorher Überlegungen angebracht, die sich
auf ein Missverständnis betr. die Abbildung f stützten ...
Al-Chw.
|
|
|
|
