Stetigkeit + Grenzwert < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 22.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Lassen sich die für x /in [mm] \IR [/mm] {0} erklaerten reellwertigen Funktionen f,g mit
a)f:x--> [mm] \bruch{x-sinx}{x^6}
[/mm]
b)g:x--> [mm] \bruch{x-sinx}{x^3}
[/mm]
für x=0 so erklaeren, dass die entstehende Erweiterung stetig ist. |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und komme mit dieser AUfgabe nicht ganz klar.
İn der Lösung steht:
Wir bestimmen den rechts- und linksseitigen Gremzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-}=\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{x-sinx}{x^6}=\limes_{x\rightarrow0^-}\bruch{1-cosx}{6x^5}=\limes_{x\rightarrow0^-}\bruch{sinx}{30x^4}=\limes_{x\rightarrow0^{
-}}\bruch{cosx}{120x^3}=-\infty
[/mm]
İch würde mich gerne freuen, wenn mir jemand sagen kann, warum man genau hier aufhört und nicht schon vorher oder nachdem man noch einmal l'Hospital angewendet hat.
Beim rechtsseitigen Grenzwert bekommt man analog [mm] =\infty
[/mm]
Bei der b betrachtet man nicht den links und rechtsseitigen Grenzwert, sondern allgemein [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] warum?
Ich bedanke mich im voraus.
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 22.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
ich habe oben vergessen zu fragen, wie man auf minus unendlich kommt.
İch habe schon einiges probiert, aber ich komme einfach nicht drauf.
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 22.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf [mm] -\infty [/mm] kommt man, weil man von links also mit neg. x auf 0 zugeht.
von rechts wär es [mm] +\infty
[/mm]
2. in allen gliedern davor stand 0 durch 0 , man wusste also noch nichts über den GW
Gruss leduart
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Guten Abend Melisa,
> Lassen sich die für x [mm] \in[/mm] [mm]\IR[/mm] [mm] \backslash [/mm] {0} erklaerten reellwertigen
> Funktionen f,g mit
>
> a)f:x--> [mm]\bruch{x-sinx}{x^6}[/mm]
>
> b)g:x--> [mm]\bruch{x-sinx}{x^3}[/mm]
>
> für x=0 so erklaeren, dass die entstehende Erweiterung
> stetig ist.
> Hallo,
>
> ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und komme mit
> dieser Aufgabe nicht ganz klar.
>
> İn der Lösung steht:
>
> Wir bestimmen den rechts- und linksseitigen Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}=\limes_{x\rightarrow0^-} \bruch{x-sinx}{x^6}=\limes_{x\rightarrow0^-}\bruch{1-cosx}{6x^5}=\limes_{x\rightarrow0^-}\bruch{sinx}{30x^4}=\limes_{x\rightarrow0^{
-}}\bruch{cosx}{120x^3}=-\infty[/mm]
>
>
> İch würde mich gerne freuen, wenn mir jemand sagen kann,
> warum man genau hier aufhört und nicht schon vorher oder
> nachdem man noch einmal l'Hospital angewendet hat.
Solange Zähler und Nenner an der Stelle x=0 beide den Wert
Null ergeben, handelt es sich um einen "unbestimmten" Aus-
druck, der weiter "hospitalisiert" werden muss.
Der letzte Ausdruck [mm] \bruch{cosx}{120x^3} [/mm] ist nicht mehr von dieser Art,
da cos(0)=1 ist, aber der Nenner [mm] 120x^3 [/mm] für [mm] x\rightarrow0^-
[/mm]
gegen 0 strebt, und zwar von der negativen Seite her.
> Beim rechtsseitigen Grenzwert bekommt man analog [mm]=\infty[/mm]
>
> Bei der b betrachtet man nicht den links und rechtsseitigen
> Grenzwert, sondern allgemein [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] warum?
Das kann man tun, falls man schon von vornherein "weiß", dass
links- und rechtsseitiges Grenzwertverhalten übereinstimmen
müssen. Ohne solches Vorwissen behandle man einfach beide
Fälle separat.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Do 22.07.2010 | | Autor: | melisa1 |
Danke für die schnelle Hilfe!
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