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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Di 15.01.2013 | | Autor: | anna2013 |
| Aufgabe | Sei die Hyperebene H in [mm] \IR^{n} [/mm] durch H = { [mm] x\in\IR^{n}| [/mm] <n,x> - b=0 } mit ||n||=1 (HESSEsche Normalform) gegeben.
Sei weiter ein Punkt [mm] a\in [/mm] H gegeben. Zeigen Sie, dass für den Bild von [mm] q\in \IR^{n} [/mm] unter Spiegelung [mm] \partial_{H} [/mm] an H gilt:
[mm] \partial_{H}(q) [/mm] = q+2*<n,a-q>*n |
Halli Hallo,
Hat Jemand einen Tipp oder eine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll!!?
Danke im Voraus 
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Wenn [mm]q'[/mm] mit der angegebenen Formel der Spiegelpunkt von [mm]q[/mm] ist, dann mußt du ja nur zeigen:
1. Die Mitte von [mm]q[/mm] und [mm]q'[/mm], also [mm]m = \frac{1}{2} \left( q+q' \right)[/mm] liegt auf [mm]H[/mm].
2. Die Verbindungsvektor von [mm]q[/mm] nach [mm]q'[/mm], also [mm]q'-q[/mm], steht auf [mm]H[/mm] senkrecht, ist mithin also ein Vielfaches von [mm]n[/mm].
Das zweite kann man an der Formel unmittelbar ablesen, beim ersten muß man ein kleines bißchen rechnen. Um die Übersicht zu behalten, schreibe zur Abkürzung vorübergehend [mm]\lambda = \left \langle \, n \, , \, a-q \, \right \rangle[/mm], denn das ist ein Skalar. Beachte bei der Rechnung auch: [mm]\langle n \, , \, a \rangle = b[/mm] (denn [mm]a[/mm] liegt auf [mm]H[/mm]) und [mm]\langle n \, , \, n \rangle = b[/mm] (denn [mm]n[/mm] ist normiert).
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