Singularität hebbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei 0 eine isolierte Singularität der holomorphen Funktion f. Zeigen Sie, dass 0 eine hebbare Singularität ist, falls [mm] \limes_{z\rightarrow\0}z [/mm] f(z) = 0 gilt. |
Hey ;)
Ich hänge bei obiger Aufgabe. Hat jemand eine Idee/eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze g(z):=zf(z)
nach Vor. und dem Riemannschen Hebbarkeitssatz hat g in 0 eine hebbare Sing.
g ist also in 0 holomorph.
Es ist [mm] $\bruch{g(z)-g(0)}{z-0}=f(z)$, [/mm] somit: $f(z) [mm] \to [/mm] g'(0)$ für z [mm] \to [/mm] 0
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz folgt die Beh.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 23.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit: sei
$f(z) = h(z) [mm] +\bruch{c_1}{z}+ \bruch{c_2}{z^2}+\bruch{c_3}{z^3}+ [/mm] ...$
die Laurententwicklung von f um 0, wobei die Funktion h holomorph in einer Umgebung von 0 ist.
Dann ist
$zf(z) = zh(z) [mm] +c_1+ \bruch{c_2}{z}+\bruch{c_3}{z^2}+ [/mm] ...$
Da $ [mm] \limes_{z \rightarrow 0}z [/mm] f(z) $ existiert und = 0 ist sieht man: alle [mm] c_j [/mm] sind = 0.
FRED
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