Quadratwurzel komplexe Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme für jede natürliche Zahl n [mm] \ge [/mm] 1 alle Quadratwurzeln aus der Zahl [mm] (\bruch{i-1}{i+1})^n. [/mm] |
Hallo,
wie muss ich denn bei dieser Aufgabe vorgehen?
Komme mit den komplexen Zahlen absolut nicht klar :(
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme für jede natürliche Zahl n [mm]\ge[/mm] 1 alle
> Quadratwurzeln aus der Zahl [mm](\bruch{i-1}{i+1})^n.[/mm]
> Hallo,
>
> wie muss ich denn bei dieser Aufgabe vorgehen?
> Komme mit den komplexen Zahlen absolut nicht klar :(
>
> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Berechne zunächst einmal [mm] \bruch{i-1}{i+1} [/mm] indem Du den Bruch mit $-i+1$ erweiterst. Dann solltest Du bekommen:
[mm] \bruch{i-1}{i+1}=i
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe deine Anregung (hoffentlich richtig) umgesetzt:
[mm] (\bruch{i-1}{i+1})^n [/mm] = [mm] (\bruch{i-1}{i+1} [/mm] * [mm] \bruch{i-1}{i-1})^n [/mm] = [mm] (\bruch{i^2-i-i+1}{i^2-i+i-1})^2 [/mm] = [mm] (\bruch{i^2-2i+1}{i^2-i-1})^n [/mm] = [mm] (\bruch{-1-2i+1}{-1-i-1})^n [/mm] = [mm] (\bruch{-2i}{-2-i})^n [/mm] = [mm] (\bruch{-i}{-1})^n [/mm] = [mm] i^n [/mm]
Muss ich anschließend für jede Zahl n überlegen, was rauskommt? also [mm] i^2 [/mm] = -1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> Ich habe deine Anregung (hoffentlich richtig) umgesetzt:
>
> [mm](\bruch{i-1}{i+1})^n[/mm] = [mm](\bruch{i-1}{i+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{i-1}{i-1})^n[/mm] = [mm](\bruch{i^2-i-i+1}{i^2-i+i-1})^2[/mm] =
> [mm](\bruch{i^2-2i+1}{i^2-i-1})^n[/mm] = [mm](\bruch{-1-2i+1}{-1-i-1})^n[/mm]
> = [mm](\bruch{-2i}{-2-i})^n[/mm] = [mm](\bruch{-i}{-1})^n[/mm] = [mm]i^n[/mm]
>
> Muss ich anschließend für jede Zahl n überlegen, was
> rauskommt?
Wo ?
> also [mm]i^2[/mm] = -1
Zunächst ist
[mm] i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i,....
[/mm]
Deine Aufgabe: ist n [mm] \in \IN, [/mm] so bestimme [mm] z_1,z_2 \in \IC [/mm] mit [mm] z_1 \ne z_2 [/mm] und
[mm] z_k^2=i^n [/mm] (k=1,2).
FRED
|
|
|
|
