Punktw./gleichm. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Begründen Sie Ihre Antwort kurz schriftlich.
1. Divergiert die Reihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} f_n(x)$, [/mm] so divergiert auch die Folge [mm] $(f_n)$.
[/mm]
2. Die Funktionsfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] definiert durch [mm] $f_n(x)=e^{-nx^2}$ [/mm] konvergiert gleichmäßig auf [mm] D=$\IR$.
[/mm]
3. Konvergiert die Funktionsfolge [mm] $(f_n)$ [/mm] gleichmäßig auf [mm] $D\subset\IR$, [/mm] dann konvergiert auch die Folge [mm] $(f^2_n)§ [/mm] gleichmäßig auf D.
4. Die Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] konvergiert auf [mm] $D\subset\IR$ [/mm] gegen eine stetige Funktion $f$. Dann ist die Konvergenz auf jeden Fall
- punktweise oder
- punktweise und gleichmäßig |
Hallo,
zu 1.
Falsch, als Gegenbeispiel habe ich die harmonische Reihe bzw. deren Folge gewählt. Die Reihe divergiert aber die Folge nicht.
zu 2.
Hier weiß ich nicht genau wie ich vorzugehen habe. In einer Übungsaufgabe wurde zuerst geschaut, ob die Folge punktweise konvergiert. Dazu wurde der Grenzwert gebildet und geschaut ob er existiert. Ist dies der Fall, konvergiert die Folge punktweise.
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}e^{-nx^2}=0$
[/mm]
Danach wurde die Ableitung von [mm] $f_n$ [/mm] bestimmt um Maxima zu bestimmen. Waren diese im Def.-Bereich, war die Folge gleichmäßig konvergent.
[mm] $f'_n(x)=-2*nx*e^{-nx^2}=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] Nullstelle bei $x=0, [mm] x\in [/mm] D$
Ist das Vorgehen so richtig?
zu 3.
Wollte es zuerst über das Majorantenkriterium zeigen bis mir aufgefallen ist, dass es ja um Folgen und nicht Reihen geht. Wie kann ich hier vorgehen?
zu 4.
punktweise und gleichmäßig.
Eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig konvergieren, konvergieren gegen eine stetige Funktion.
Und da es gleichmäßig ist, ist es auch punktweise.
Danke schonmal für Tipps.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mo 29.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Begründen Sie Ihre Antwort kurz schriftlich.
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> 1. Divergiert die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} f_n(x)[/mm], so
> divergiert auch die Folge [mm](f_n)[/mm].
>
> 2. Die Funktionsfolge [mm](f_n)[/mm] definiert durch
> [mm]f_n(x)=e^{-nx^2}[/mm] konvergiert gleichmäßig auf D=[mm]\IR[/mm].
>
> 3. Konvergiert die Funktionsfolge [mm]$(f_n)$[/mm] gleichmäßig auf
> [mm]$D\subset\IR$,[/mm] dann konvergiert auch die Folge [mm]$(f^2_n)§[/mm]
> gleichmäßig auf D.
>
> 4. Die Folge [mm](f_n)[/mm] konvergiert auf [mm]D\subset\IR[/mm] gegen eine
> stetige Funktion [mm]f[/mm]. Dann ist die Konvergenz auf jeden Fall
> - punktweise oder
> - punktweise und gleichmäßig
> Hallo,
>
> zu 1.
> Falsch, als Gegenbeispiel habe ich die harmonische Reihe
> bzw. deren Folge gewählt. Die Reihe divergiert aber die
> Folge nicht.
Das ist O.K. (konstante Funktionen sind ja Funktionen)
>
> zu 2.
> Hier weiß ich nicht genau wie ich vorzugehen habe. In
> einer Übungsaufgabe wurde zuerst geschaut, ob die Folge
> punktweise konvergiert. Dazu wurde der Grenzwert gebildet
> und geschaut ob er existiert. Ist dies der Fall,
> konvergiert die Folge punktweise.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}e^{-nx^2}=0[/mm]
Ja, aber nur, wenn x [mm] \ne [/mm] 0 ist. Für x=0: [mm] f_n(0) [/mm] =1 [mm] \to [/mm] 1 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Also konv. [mm] (f_n) [/mm] punktweise gegen eine unstetige (!) Funktion. Kann die Konvergenz dann gleichmäßig sein ?
> Danach wurde die Ableitung von [mm]f_n[/mm] bestimmt um Maxima zu
> bestimmen. Waren diese im Def.-Bereich, war die Folge
> gleichmäßig konvergent.
> [mm]f'_n(x)=-2*nx*e^{-nx^2}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Nullstelle bei [mm]x=0, x\in D[/mm]
> Ist das Vorgehen
> so richtig?
>
> zu 3.
> Wollte es zuerst über das Majorantenkriterium zeigen bis
> mir aufgefallen ist, dass es ja um Folgen und nicht Reihen
> geht. Wie kann ich hier vorgehen?
Suche ein Gegenbeispiel !
>
> zu 4.
> punktweise und gleichmäßig.
> Eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig
> konvergieren, konvergieren gegen eine stetige Funktion.
> Und da es gleichmäßig ist, ist es auch punktweise.
Das stimmt zwar, aber obige Aussage 4 ist doch ein wenig anders. Lies das nochmal ganz genau.
FRED
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> Danke schonmal für Tipps.
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