Projektionsmatrix bestimmen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 28.06.2012 | | Autor: | dansibo |
| Aufgabe | Ebene: r=t1 * a1 + t2 * a2 mit a1 = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] , a2 = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] Projektionsmatrix: P
Die Matrix projiziert auf die durch a1 a2 aufgespannte Ebene.
a) Ermittlen Sie mit Hilfe eines lienaren Gelichungssystems alle Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen. Das Gleichungssystem ist mit dem Gauß zu lösen. Stellen Sie die Lösungsmenge so dar, dass die geometrische Form erkennbar ist.
b) Bestimmen Sie die Projektionsmatrix P in der Standardbasis e1, e2,e3 mit Hilfe der Pseudoinversen. |
Hallo,
habe hier eine Aufgabe aus der alten Klausur aufgeführt, die ich nicht verstehe..
Hier ein paar Gedanken: Die Projektionsmatrix kann man glaube ich mit der Formel : [mm] U*U^{+}bestimmen.
[/mm]
Also 2 Vektoren zu einer Matrix zusammenfassen und mal die transponierte nehmen dann mit Gauß die invertierte matrix U bekommen und wieder mit der [mm] U^{t} [/mm] multiplizieren.
Ich hoffe jemand kann mir helfen!
Danke im Voraus !
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=495986
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Ebene: r=t1 * a1 + t2 * a2 mit a1 = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
> , a2 = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\
0 \\
1 \end{pmatrix}[/mm]
> Projektionsmatrix: P
>
> Die Matrix projiziert auf die durch a1 a2 aufgespannte
> Ebene.
>
> a) Ermittlen Sie mit Hilfe eines lienaren Gelichungssystems
> alle Vektoren, die senkrecht auf der Ebene stehen. Das
> Gleichungssystem ist mit dem Gauß zu lösen. Stellen Sie
> die Lösungsmenge so dar, dass die geometrische Form
> erkennbar ist.
Die Vektoren, die auf der gegebenen Ebene senkrecht stehen, sind die Vektoren [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] mit [mm] a_1*x=0 [/mm] und [mm] a_2*x=0.
[/mm]
Dies liefert Dir ein homogenes LGS, welches Du nun mit Gauß lösen kannst.
Der Lösungsraum ist eine gerade, welche auf der Ebene senkrecht steht.
Den Vektor, der ihn aufspannt, nenne ich jetzt mal [mm] a_3.
[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie die Projektionsmatrix P in der
> Standardbasis E:=(e1, e2,e3 ) mit Hilfe der Pseudoinversen.
Wie man das mit der Pseudoinversen macht und was die Pseudoinverse genau ist, hab' ich vergessen...
Vielleicht aber nützt es Dir, wenn ich Dir sage, wie man mitmeinen Kenntnissen die gesuchte Matrix findet, dann hast Du immerhin etwas zum Vergleichen.
Die Darstellungsmatrix der orthogonalen Projektion [mm] \pi [/mm] auf die gegebene Ebene bzgl der Basis [mm] B:=(a_1, a_2, a_3) [/mm] ist
[mm] _BM_B(\pi)=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}
[/mm]
Sei T die Matrix, deren Spalten [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] sind.
Dann ist die in der Aufgabe gesuchte Projektionsmatrix die Matrix
[mm] P=_EM_E(\pi)=T*_BM_B(\pi)*T^{-1}
[/mm]
LG Angela
> Hallo,
>
> habe hier eine Aufgabe aus der alten Klausur aufgeführt,
> die ich nicht verstehe..
>
>
> Hier ein paar Gedanken: Die Projektionsmatrix kann man
> glaube ich mit der Formel : [mm]U*U^{+}bestimmen.[/mm]
>
> Also 2 Vektoren zu einer Matrix zusammenfassen und mal die
> transponierte nehmen dann mit Gauß die invertierte matrix
> U bekommen und wieder mit der [mm]U^{t}[/mm] multiplizieren.
>
> Ich hoffe jemand kann mir helfen!
>
> Danke im Voraus !
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=495986
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