Polynomfunktionen,Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 So 08.06.2008 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | sei p [mm] \in \IZ [/mm] eine Primzahl und sei [mm] \IF_{p} [/mm] der Körper [mm] \IZ/p\IZ.
[/mm]
a) zeige, dass über [mm] \IF_{2} [/mm] die Polynome [mm] X^2 [/mm] +X und 0 die gleiche Polynomfunktion besitzen. Gilt [mm] X^2 [/mm] + X = 0 ?
b) Welche Werte nimmt die Polynomfunktione über [mm] \IF_{p} [/mm] für das Polynom
[mm] X(X^p [/mm] -1) an?
c) Wie viele verschiedene Polynomfunktionen gibt es über [mm] \IF^p. [/mm] Wie viele verschiedene Polynome gibt es dort? |
Hallo ale zusammen. Ich habe diese aufgabe zu bearbeiten und blicke leider durch dieses ganze Thema noch nicht durch....
Zu der a)
in [mm] \IF_{2} [/mm] kann X die restklassen [0] und [1] annehmen und demnach gilt [mm] X^2+X [/mm] = 0 .
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll, dass 0 und [mm] X^2 [/mm] + X die gleiche Polynomfunktion besitzen. Ist das nicht an sich schon damit beantwortet, dass beide als Bild nur die 0 haben?
zu der b)
habe das ganze mal für [mm] \IF_{5} [/mm] und [mm] \IF_{3} [/mm] gemacht, entdecke aber irgendwie keine regelmäßikeit...
und bei der c) weiß ich momentan noch garnicht , was damit gemeint ist.
Es wäre super, wenn mir vielleicht jemand helfen könnte, da das Thema gerade recht neu ist.
LG, Millili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 08.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
> sei p [mm]\in \IZ[/mm] eine Primzahl und sei [mm]\IF_{p}[/mm] der Körper
> [mm]\IZ/p\IZ.[/mm]
>
> a) zeige, dass über [mm]\IF_{2}[/mm] die Polynome [mm]X^2[/mm] +X und 0 die
> gleiche Polynomfunktion besitzen. Gilt [mm]X^2[/mm] + X = 0 ?
>
> b) Welche Werte nimmt die Polynomfunktione über [mm]\IF_{p}[/mm] für
> das Polynom
> [mm]X(X^p[/mm] -1) an?
>
> c) Wie viele verschiedene Polynomfunktionen gibt es über
> [mm]\IF^p.[/mm] Wie viele verschiedene Polynome gibt es dort?
> Hallo ale zusammen. Ich habe diese aufgabe zu bearbeiten
> und blicke leider durch dieses ganze Thema noch nicht
> durch....
Du musst hierbei zwischen Polynomen und Polynomfunktionen unterscheiden.
Ein Polynom ist bloß durch seine Koeffizienten bestimmt, unabhängig davon was rauskommt, wenn du etwas einsetzt. Während bei der Funktion das Ergebniss das wichtigste ist.
>
> Zu der a)
>
> in [mm]\IF_{2}[/mm] kann X die restklassen [0] und [1] annehmen und
> demnach gilt [mm]X^2+X[/mm] = 0 .
> Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll, dass 0 und
> [mm]X^2[/mm] + X die gleiche Polynomfunktion besitzen. Ist das
> nicht an sich schon damit beantwortet, dass beide als Bild
> nur die 0 haben?
Seien f(x) = [mm] X^2+X [/mm] und g(x) = 0. Da f(0)=g(0)=0 und f(1)=g(1)=0 in [mm] \IF_2 [/mm] gilt, sind f und g dieselbe Funktion in [mm] \IF_2. [/mm] Aber die Polynome [mm] X^2+X [/mm] und 0 sind unterschiedlich, denn die Koeffizienten von [mm] X^2+X [/mm] sind (0,1,1) und die von 0 sind (0,0,0), also unterschiedliche Elemente in [mm] \IF_2(X).
[/mm]
Hierbei bedeutet [mm] (a_0, a_1, [/mm] ..., [mm] a_n) [/mm] das Polynom [mm] a_nX^n+...+a_1X+a_0.
[/mm]
>
> zu der b)
>
> habe das ganze mal für [mm]\IF_{5}[/mm] und [mm]\IF_{3}[/mm] gemacht,
> entdecke aber irgendwie keine regelmäßikeit...
Welchen Wert hat [mm] X^p [/mm] in [mm] \IF_p?
[/mm]
>
> und bei der c) weiß ich momentan noch garnicht , was damit
> gemeint ist.
>
> Es wäre super, wenn mir vielleicht jemand helfen könnte, da
> das Thema gerade recht neu ist.
>
> LG, Millili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 So 08.06.2008 | | Autor: | Millili |
Du musst hierbei zwischen Polynomen und Polynomfunktionen
> unterscheiden.
> Ein Polynom ist bloß durch seine Koeffizienten bestimmt,
> unabhängig davon was rauskommt, wenn du etwas einsetzt.
> Während bei der Funktion das Ergebniss das wichtigste ist.
>
>
> Seien f(x) = [mm]X^2+X[/mm] und g(x) = 0. Da f(0)=g(0)=0 und
> f(1)=g(1)=0 in [mm]\IF_2[/mm] gilt, sind f und g dieselbe Funktion
> in [mm]\IF_2.[/mm] Aber die Polynome [mm]X^2+X[/mm] und 0 sind
> unterschiedlich, denn die Koeffizienten von [mm]X^2+X[/mm] sind
> (0,1,1) und die von 0 sind (0,0,0), also unterschiedliche
> Elemente in [mm]\IF_2(X).[/mm]
> Hierbei bedeutet [mm](a_0, a_1,[/mm] ..., [mm]a_n)[/mm] das Polynom
> [mm]a_nX^n+...+a_1X+a_0.[/mm]
>
Okay, danke...damit habe ich die a) verstanden:)
> >
> > zu der b)
> >
>
> Welchen Wert hat [mm]X^p[/mm] in [mm]\IF_p?[/mm]
Also [mm] X^p [/mm] nimmt in [mm] \IF_{p} [/mm] immer den Wert X an, da gilt, dass [mm] X|X^p.
[/mm]
Kann ich das dann so umformen?:
Sei p prim , seien [mm] x_{1},.....x_{p-1} [/mm] die Restklassen von [mm] \IF_{p}.
[/mm]
Da gilt, dass [mm] X|X^p \Rightarrow x_{i}(x_{i}^p [/mm] -1) = [mm] x_{i}(x_{i}-1) [/mm] = [mm] x_{i}^2 [/mm] - [mm] x_{i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1, ... p-1}. ?
Dann hätte ich doch schon die werte, die die Polynomfunktion annimmt? oder bin ich jetzt komplett auf dem Holzweg?
danke für deine schnelle Antwort, Millili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Kommt bei [mm] X^p [/mm] nicht immer 0 raus, wenn man in [mm] \IF_p [/mm] ist? Oder irre ich mich grad?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
Hmm, also beispielsweise [mm] \IF_{5}.
[/mm]
Da , hätte ich doch doch die elemente 0, 1, 2, 3, 4.
Wenn ich z.B X=4 nehme.
Dann wäre [mm] X^5 [/mm] = 1024
Und in [mm] IF_{5} [/mm] ist das doch restklasse 4 oder?
Oder vertu ich mich da jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Das ist korrekt, nach dem kleinen Satz von Fermat gilt [mm] a^p=a [/mm] für alle a [mm] \in \IF_p.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Habt recht. Hab Plus und Mal verwechselt ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Wenn [mm] X^p=0 [/mm] in [mm] \IF_p [/mm] gelten würde, dann hätten wir Nullteiler gefunden, was der Körpereigenschaft widersprechen würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
Okay, stimmt. danke:)
Und bei der c) .... wisst ihr evtl. da , was mit [mm] \IF^p [/mm] gemeint ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast und das Aufgabenblatt korrekt ist? Fehler passieren, und die Frage nach der Anzahl Polynomfunktionen in [mm] \IF_p [/mm] erscheint mir ziemlich sinnvoll.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
Richtig abgeschrieben habe ich sie. Kam mir auch seltsam vor, deswegen hab ich ja gefragt;)
Hmm, müsste es dann nicht p verschiedene Polynomfunktionen in [mm] \IF_{p}geben? [/mm] so dass es je eine Abbildung pro restklassenelement gibt?
Allerdings mehr Polynome oder? Man sieht, ja an der Aufgabe a) , dass es schon mindestens 2 für die Nullabbildung gibt....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
> Richtig abgeschrieben habe ich sie. Kam mir auch seltsam
> vor, deswegen hab ich ja gefragt;)
>
Okay, dann würde ich vorschlagen, wir lösen die Aufgabe einfach für [mm] \IF_p [/mm] und du fragst nach, ob das falsch auf dem Blatt steht ;)
> Hmm, müsste es dann nicht p verschiedene Polynomfunktionen
> in [mm]\IF_{p}geben?[/mm] so dass es je eine Abbildung pro
> restklassenelement gibt?
Hm, ganz allgemein gibt es [mm] p^p [/mm] Funktionen [mm] \IF_p \to \IF_p, [/mm] da ja jedes Element auf einen von $p$ möglichen Werten abgebildet werden. Also kann es auch höchstens so viele Polynomfunktionen geben. Da stellt sich die Frage: Gibt es eine Funktion, die nicht durch ein Polynom realisiert wird?
> Allerdings mehr Polynome oder? Man sieht, ja an der Aufgabe
> a) , dass es schon mindestens 2 für die Nullabbildung
> gibt....
Korrekt! Und Merle hat in seiner ersten Antwort schon angedeutet, wie man Polynome zählen könnte. Wie kann man damit zählen, wieviele Polynome es in [mm] \IF_p [/mm] gibt?
LG, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
>
> Okay, dann würde ich vorschlagen, wir lösen die Aufgabe
> einfach für [mm]\IF_p[/mm] und du fragst nach, ob das falsch auf dem
> Blatt steht ;)
Alles klar;)
>
> Hm, ganz allgemein gibt es [mm]p^p[/mm] Funktionen [mm]\IF_p \to \IF_p,[/mm]
> da ja jedes Element auf einen von [mm]p[/mm] möglichen Werten
> abgebildet werden. Also kann es auch höchstens so viele
> Polynomfunktionen geben. Da stellt sich die Frage: Gibt es
> eine Funktion, die nicht durch ein Polynom realisiert
> wird?
also ich hätte jetzt gesagt due Nullfunktion. Die einfach alles auf die Null schickt? aber ich bin mir grad nicht sicher,ob dass dann nicht das 0- Polynom ist....Von daher, hab ich da grad irgendwie ein brett vorm Kopf...
>
> > Allerdings mehr Polynome oder? Man sieht, ja an der Aufgabe
> > a) , dass es schon mindestens 2 für die Nullabbildung
> > gibt....
>
> Korrekt! Und Merle hat in seiner ersten Antwort schon
> angedeutet, wie man Polynome zählen könnte. Wie kann man
> damit zählen, wieviele Polynome es in [mm]\IF_p[/mm] gibt?
Vllt alle möglichen Kombinationen von Koeffizienten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Die Anzahl der Polynome ist die Zahl der möglichen Koeffizientebelegungen, denn es kommt ja hierbei nicht auf das Ergebnis an.
Im Gegensatz zu meiner Antwort unten ist vll ja wirklich der Witz an der Sache, dass es zwar unendlich viele verschiedene Polynome gibt aber nur endlich viele Polynomfunktionen (wenn wir -nicht- davon ausgehen, dass mit [mm] \IF^p [/mm] gemeint ist, dass wir nur Polynome bis Grad p betrachten).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
Gut, also sagt mir [mm] \IF_{p} [/mm] tatsächlich nicht welchen Grad meine Polynomfunktionen haben müssen, wie unten in der Mitteilung vermutet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Jo.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
Alles klar, danke euch für eure Hilfe!;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ich geh mal davon aus, dass mit [mm] \IF^p [/mm] gemeint ist, dass man nur Polynome mit Grad höchstens p betrachtet. Denn sonst gäbe es ja unendlich viele verschiedene Polynome.
Es ist auch logisch, denn es gilt ja [mm] a^p=a [/mm] - also kann man höhere Potenzen auch genauso gut durch kleinere ersetzen.
Ansonsten hab ich aber leider keine Idee so spontan.
Edit: siehe meine obige Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Millili |
Puuh, das könnte natürlich auch sein...., dass das damit gemeint ist:) Also ich hab mich gerade auch gefragt...wenn ich nicht weiß wie hoch die Potenz sein soll, dann habe ich doch unendlich viele Möglichkeiten von Polynomen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mo 09.06.2008 | | Autor: | anstei |
Als Funktion nehmen [mm] X^p [/mm] und X zwar dieselben Werte an, aber sie haben eine andere Ableitung, sind also meiner Meinung nach nicht als gleich zu betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mo 09.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
In der Algebra existiert sowas wie "Ableitung" nicht - zumindest nicht in dem Sinne der Analysis. Man zwar ne formale Ableitung definieren, also indem man einfach sagt, dass man die Potenzen runterzieht und dann um eins erniedrigt, aber das hat recht wenig damit zu tun, was man in der Analysis macht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Di 10.06.2008 | | Autor: | anstei |
Okay, dann korrigiere ich mich: Man kann auf der Algebra Derivationen einführen, die die beiden Polynome auf verschiedene Polynome abbildet. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Di 10.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Ja dass die Polynome unterschiedlich sind, das hab ich ja schon g'sagt. Aber als Funktion betrachet sind sie gleich.
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