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| Aufgabe | Für die folgende Kurvenschar stelle man die Differentialgleichung der Orthogonaltrajektorien auf und bestimme die allgemeine Lösung
[mm] a.)y^{2}=x+c
[/mm]
[mm] b.)x^{2}+2y^{2}=c
[/mm]
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Hallo
Ich hab bei diesem Beispiel überhaupt keine Ahnung was da überhaupt gemeint ist. In meinem Skriptum hab ich nur folgendes zur Lösung gefunden
(1)K(x,y,c)=0
[mm] (2)K_{x}(x,y(x),c)+K_{y}(x,y(x),c)*y [/mm] ´=0
jetzt soll man falls möglich aus 1 c=c(x,y) ausdrücken und in 2 einsetzen
dann erhält man f(x,y)+g(x,y)*y ´ =0
Die orthogonalen Trajektorien genügen offenbar der Differentialgleichung
y ´ [mm] =\bruch{g(x,y)}{f(x,y)}
[/mm]
so hab ich das dann probiert...
[mm] K(x,y(x),c)=y^{2}-x-c=0
[/mm]
[mm] K_{x}(x,y(x),c)=-1
[/mm]
[mm] K_{y}(x,y(x),c)=2y
[/mm]
y ´ [mm] =\bruch{1}{2*\wurzel{x+c}}
[/mm]
[mm] K_{x}(x,y(x),c)+K_{y}(x,y(x),c)*y [/mm] ´ =0
-1+2y*y ´=0
[mm] -1+2y*\bruch{1}{2*\wurzel{x+c}}=0 [/mm] mit [mm] c=y-x^{2}
[/mm]
[mm] -1+2y*\bruch{1}{2*\wurzel{x+y-x^{2}}}=0 [/mm] spätesten jetzt hab ich keine Ahnung mehr wie es weitergeht und ob das bis jetzt schon mal stimmt. Wie funktioniert das falls es falsch ist richtig und was kann man sich unter Orthogonalentrajektorien vorstellen ???
lg Stevo
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Hallo stevo,
> Für die folgende Kurvenschar stelle man die
> Differentialgleichung der Orthogonaltrajektorien auf und
> bestimme die allgemeine Lösung
> [mm]a.)y^{2}=x+c[/mm]
> [mm]b.)x^{2}+2y^{2}=c[/mm]
>>
> (1)K(x,y,c)=0
>
> [mm](2)K_{x}(x,y(x),c)+K_{y}(x,y(x),c)*y[/mm] ´=0
>
> jetzt soll man falls möglich aus 1 c=c(x,y) ausdrücken und
> in 2 einsetzen
>
ich kann leider deinen ansatz nicht so ganz nachvollziehen bzw. finde ihn nicht sehr anschaulich.
Orthogonaltrajektorien müssten Kurven sein, die alle Kurven deiner Schar im rechten Winkel schneiden. Insofern würde ich so vorgehen:
Wenn die Kurvenschar implizit durch $K(x,y,c)=0$ gegeben ist, erhältst du das Normalenfeld durch Bildung des Gradienten bzgl. x und y,also
[mm] $N(x,y)=\nabla_{x,y} [/mm] K(x,y,c)$
Die Orthogonaltrajektorien sind nun genau der Fluß des Vektorfeldes N, also die Lösungen der DGL
$r'(t)=N(r(t))$ mit [mm] $r(t)=\vektor{x(t) \\ y(t)}$
[/mm]
oder anders
[mm] $\vektor{ x' \\y'} =\vektor{\partial_x K (x,y) \\ \partial_y K(x,y)}$
[/mm]
zB. Aufgabe a): [mm] $K(x,y,c)=y^2-x-c$ [/mm] führt auf die DGL
[mm] $\vektor{ x' \\y'} =\vektor{ -1 \\ 2y}$
[/mm]
Das kann man leicht [mm] lösen:$x(t)=-t+k_1$ [/mm] und [mm] $y(t)=k_2 e^{2t}$. [/mm] Das heißt
[mm] $r(t)=\vektor{ -t +k_1 \\ k_2 e^{2t}}$
[/mm]
Parametrisiert man das ganze um mit [mm] $s:=-t+k_1$ [/mm] ergibt sich
[mm] $r(s)=\vektor{ s \\ k_2 e^{-2(s-k_1)}}$
[/mm]
Alles in allem, bildet also die Schar der Funktionen [mm] $y(x,k_1,k_2)=k_2 e^{-2(x-k_1)}$ [/mm] die Orthogonaltrajektorien.
Aufgabe b) sollte so ähnlich gehen.
Gruß
Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Mi 16.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Matthias!
> Alles in allem, bildet also die Schar der Funktionen
> [mm]y(x,k_1,k_2)=k_2 e^{-2(x-k_1)}[/mm] die Orthogonaltrajektorien.
Ich als DGL-Laie würde hier die beiden Parameter [mm] k_{1} [/mm] und [mm] k_{2} [/mm] zu einem zusammenfassen, oder macht man das nicht?
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Mi 16.08.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hi Dieter!
> Hallo Matthias!
>
> > Alles in allem, bildet also die Schar der Funktionen
> > [mm]y(x,k_1,k_2)=k_2 e^{-2(x-k_1)}[/mm] die Orthogonaltrajektorien.
>
> Ich als DGL-Laie würde hier die beiden Parameter [mm]k_{1}[/mm] und
> [mm]k_{2}[/mm] zu einem zusammenfassen, oder macht man das nicht?
>
Stimmt, das geht auch. Wegen
[mm] $y(x,k_1,k_2)=k_2\cdot e^{-2x}\cdot e^{2k_1}=\tilde k\cdot e^{-2x}=y(x,\tilde [/mm] k)$.
Intuitiv war [mm] $k_1$ [/mm] für mich der Translations-Parameter, deswegen dachte ich, das macht sinn.
Danke, Herr DGL-Laie!  (Ich dachte, Du hast in deinem Job massig mit DGLs zu tun?!)
Viele Grüße
Matthias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Do 17.08.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
>
> [mm]\vektor{ x' \\y'} =\vektor{\partial_x K (x,y) \\ \partial_y K(x,y)}[/mm]
>
von dieser DGL für eine Kurve kann man übrigens auch direkt zu der DGL für eine Funktion $y(x)$ kommen, die in deinem Skript auftaucht
[mm] $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\partial_y K}{\partial_x K}$
[/mm]
So kommt man noch etwas schneller auf die Lösungen.
Gruß
Matthias
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