Orientierbarkeit von Flächen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei f: [mm] S_1 \to S_2 [/mm] ein Diffeomorphismus zwischen den regulären Flächen [mm] S_1 [/mm] und [mm] S_2. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] S_1 [/mm] genau dann orientierbar ist, wenn [mm] S_2 [/mm] orientierbar. |
Hallo,
kann mir bitte jemand ein Tipp geben, wie ich hier ansetzen kann?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Mo 06.07.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
du solltest genauer sagen, was du meinst. Eine Fläche ist für mich ein topologischer Raum der lokal Euklidisch ist, Hausdorffsch und das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
Eine Fläche heißt orientierbar, wenn keine Teilmenge der Fläche homöomorph zu einem Möbiusband ist.
Es reicht also eigentlich schon Homöomorphie aus.
Beweis: Sei [mm] $\varphi:S_1\to S_2$ [/mm] ein Homöomorphismus. Eine Fläche [mm] S_1 [/mm] ist genau dann nicht-orientierbar, wenn [mm] S_2 [/mm] nicht orientiert ist. Sei [mm] S_1 [/mm] nicht orientierbar (zu zeigen). Dann wird eine zu einem Möbiusband homöomorphe Teilmenge [mm] $M\subseteq S_1$ [/mm] homöomorph via [mm] \varphi [/mm] auf [mm] $N:=\varphi (M)\subseteq S_2$ [/mm] abgebildet. Dann ist aber [mm] $M\cong [/mm] N$ homöomorph zu einem Möbiusband und damit [mm] $S_2$ [/mm] ebenfalls nicht orientierbar (vice versa).
Ich hoffe ich habe alles beachtet. Beweise immer kritisch lesen. 
LG
Ladon
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