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| Aufgabe | Seien A und B Teilmengen des normierten Bannach-Raumes E. Der Abstand d(A,B) wird definiert durch
d(A,B):= inf {||a-b|| | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}.
Es seien A und B nichtleer und disjunkt. Zeige:
Falls A kompakt und B abgeschlossen ist, dann gilt d(A,B) > 0. |
hallo.
ich habe hier leider überhaupt keine idee. kann mir jemand helfen??? vielen dank im vorraus...
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> Seien A und B Teilmengen des normierten Bannach-Raumes E.
> Der Abstand d(A,B) wird definiert durch
>
> [mm]d(A,B):= \inf\{||a-b|| | a \in A, b \in B\}[/mm].
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> Es seien A und B nichtleer und disjunkt. Zeige:
>
> Falls A kompakt und B abgeschlossen ist, dann gilt [mm]d(A,B)> 0[/mm].
>
> hallo.
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> ich habe hier leider überhaupt keine idee. kann mir jemand
> helfen??? vielen dank im vorraus...
Wie wärs, wenn Du versuchen würdest zu zeigen, dass die Abbildung [mm]f:A \rightarrow \IR^{+}_0[/mm], definiert durch [mm]f(a)=\inf\{||a-b|| \mid b\in B\}[/mm], stetig ist? - Falls Dir dies gelingt, kannst Du argumentieren, dass demnach [mm]f[/mm] auf der kompakten Menge [mm]A[/mm] einen kleinsten Wert annehmen muss. Da aber [mm]B[/mm] abgeschlossen und [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] ist, kann dieser kleinste Wert nicht gleich [mm]0[/mm] sein: also folgt die Behauptung.
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mmh, irgendwie bekomm ich die stetigkeit nicht hin......hast du da vielleicht nen tipp?
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> mmh, irgendwie bekomm ich die stetigkeit nicht
> hin......hast du da vielleicht nen tipp?
Ich hätte vielleicht besser die Funktion [mm]d_B: E\rightarrow \IR, x\mapsto \inf\{\paralel x-b\parallel \mid b \in B\}[/mm] vorgeschlagen (also den "Abstand eines beliebigen [mm]x\in E[/mm] von der Menge [mm]B\subseteq E[/mm]).
Diese Funktion ist nicht nur stetig: sie ist sogar gleichmässig stetig (sofern [mm]B\neq \emptyset[/mm]: und dabei kommt es nur auf die metrische Struktur des normierten Raumes [mm]E[/mm] an).
Denn sind [mm]x,x'\in E[/mm] beliebig, dann gilt für alle [mm]b\in B[/mm]:
[mm]d_B(x) \leq \parallel x-b\parallel \leq \parallel x-x'\parallel + \parallel x'-b\parallel[/mm]
Also
[mm]d_B(x)-\parallel x-x'\parallel \leq \parallel x'-b\parallel[/mm]
Da [mm]b\in B[/mm] beliebig war, folgt daraus sogar
[mm]d_B(x)-\parallel x-x'\parallel \leq d_B(x')[/mm]
bzw. indem wir [mm]d_B(x')[/mm] auf die andere Seite nehmen:
[mm]d_B(x)-d_B(x')\leq \parallel x-x'\parallel[/mm]
Da aber [mm]x,x'\in E[/mm] beliebig waren, gilt diese Ungleichung auch, wenn wir [mm]x[/mm] und [mm]x'[/mm] vertauschen. Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass gilt:
[mm]|d_B(x)-d_B(x')| \leq \parallel x-x'\parallel[/mm]
Du siehst also, dass sogar gleichmässige Stetigkeit von [mm]d_B[/mm] (dem "Abstand von [mm]B[/mm]") vorliegt. Für vorgegebenes [mm]\varepsilon > 0[/mm] kann man ja einfach ein [mm]\delta[/mm] mit [mm]0 < \delta \leq \varepsilon[/mm] wählen, dann folgt, dass für alle [mm]x,x'[/mm] mit [mm]\parallel x-x'\parallel < \delta[/mm]:
[mm]|d_B(x)-d_B(x')| \leq \parallel x-x'\parallel < \delta \leq \varepsilon[/mm]
was für die (gleichmässige) Stetigkeit von [mm]d_B[/mm] zu zeigen war.
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