Lösung einer DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine DGL 1.Ordnung in der Form
y´(t)=ay(t)+f(t)
[mm] y_p(t) [/mm] ist irgendeine Lösung dieser Gleichung.
Zeige: Die allgemeine Lösung hat die Form:
[mm] y(t)=y_p(t)+ce^{at}, c\in \IR [/mm] beliebig |
Ich habe die erste Vorlesung leider verpasst.
Kann mir jemand erklären wie man hierbei vorgeht?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Gegeben ist eine DGL 1.Ordnung in der Form
> y´(t)=ay(t)+f(t)
> [mm]y_p(t)[/mm] ist irgendeine Lösung dieser Gleichung.
>
> Zeige: Die allgemeine Lösung hat die Form:
> [mm]y(t)=y_p(t)+ce^{at}, c\in \IR[/mm] beliebig
> Ich habe die erste Vorlesung leider verpasst.
> Kann mir jemand erklären wie man hierbei vorgeht?
>
Um die Lösungen der homogenen DGL
[mm]y'(t)-ay(t)=0[/mm]
zu bestimmen, wählst Du den Ansatz [mm]y\left(t\right)=e^{\lambda*t}[/mm].
Wobei sich das [mm]\lambda[/mm] durch Einsetzen des Ansatzes in die DGL ergibt.
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Wie komme ich auf diesen Ansatz? Das verstehe ich nicht. Ich komme hier nicht so richtig weiter! Wie komme ich auf das [mm] \lamda? [/mm] Und wie gehts dann weiter?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 So 30.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo mathegirl,
mathepower hat Dir schon die richtige DGL hingeschrieben und der Ansatz mit der e-Funktion rührt einfach daher, dass die e-Funktion bei einer Ableitung ihr Argument nicht ändert, wenn auch noch ein Vorfaktor davor kommen kann.
Das ist also ein guter Ansatz für eine DGL der Form
[mm] y'(t)-ay(t)=0 [/mm]
Wie man dann weitermacht, kannst Du beispielsweise ![[]](/images/popup.gif) hier ab Seite 19 nachlesen.
Viele Grüße,
Infinit
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ok. aber wie komme ich auf das [mm] \lambda???
[/mm]
Ich habe es mal so probiert:
y´(t)-ay(t)=0
[mm] y_0=K*e^{at}
[/mm]
[mm] y=K(x)*e^{at}
[/mm]
y´ =K´ [mm] (x)*e^{at}+K(x)*e^{at}
[/mm]
dann einsetzen:
y´ (t)-ay(t)= K´ [mm] (x)*e^{at}+K(x)*e^{at}-a*K(x)*e^{at}
[/mm]
stimmt das soweit?
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Hallo Mathegirl,
> ok. aber wie komme ich auf das [mm]\lambda???[/mm]
>
> Ich habe es mal so probiert:
>
> y´(t)-ay(t)=0
> [mm]y_0=K*e^{at}[/mm]
> [mm]y=K(x)*e^{at}[/mm]
> y´ =K´ [mm](x)*e^{at}+K(x)*e^{at}[/mm]
>
Hier fehlt das "a":
[mm]y' =K'(x)*e^{at}+K(x)*\red{a}*e^{at}[/mm]
Dann reduziert sich auch die untenstehende Gleichung.
> dann einsetzen:
>
> y´ (t)-ay(t)= K´ [mm](x)*e^{at}+K(x)*e^{at}-a*K(x)*e^{at}[/mm]
>
> stimmt das soweit?
Gruss
MathePower
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okay, das a hab ich ganz vergessen!
okay, dann bleibt noch übrig:
y´(t)-ay(t)= [mm] K´(x)*e^{at}
[/mm]
okay, und jetzt komme ich nicht weiter.
ich weiß nur, ich muss als nächstes das unbestimmte Integral anwenden..
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> okay, das a hab ich ganz vergessen!
>
> okay, dann bleibt noch übrig:
>
> y´(t)-ay(t)= [mm]K´(x)*e^{at}[/mm]
>
> okay, und jetzt komme ich nicht weiter.
Setze jetzt
[mm]K'\left(t\right)*e^{a*t}=f\left(t\right)[/mm]
und bestimme daraus [mm]K\left(t\right)[/mm]
durch Auflösen nach K' und integrieren.
> ich weiß nur, ich muss als nächstes das unbestimmte
> Integral anwenden..
>
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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genau das ist ja mein Problem!!
K´(t)= [mm] \bruch{f(t)}{e^{at}} [/mm] dt
Ich komme mit dem integrieren nicht so recht klar und ich weiß nicht wie ich auf das [mm] y_p(t) [/mm] kommen soll......
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Hallo Mathegirl,
> genau das ist ja mein Problem!!
>
> K´(t)= [mm]\bruch{f(t)}{e^{at}}[/mm] dt
>
> Ich komme mit dem integrieren nicht so recht klar und ich
> weiß nicht wie ich auf das [mm]y_p(t)[/mm] kommen soll......
Nun, es ist
[mm]K\left(t\right)=\integral_{}^{}{f\left(t\right)*e^{-a*t} \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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ja, aber damit komme ich nicht auf mein [mm] y_p(t) [/mm] was ich doch brauche!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 30.10.2011 | | Autor: | hippias |
Diese Tipps, die Du hier bekommen hast, dienen in der Tat dazu zu demonstrieren wie man eine Loesung der DGL bestimmen kann, Dein Problem ist jedoch ein wenig anders gelagert:
Nimm an, $g$ ist Loesung der DGL und zeige, dass [mm] $g-y_{p}$ [/mm] eine Loesung der homogenen DGL $y'-ay= 0$ ist. Nun weiss man wie die Integrale dieser Gleichung ausschauen - es sind die Exp.funktionen [mm] $ce^{ax}$ [/mm] - sodass [mm] $g-y_{p}= ce^{ax}$ [/mm] folgt.
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sorry, aber das verstehe ich nun gar nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 So 30.10.2011 | | Autor: | hippias |
> sorry, aber das verstehe ich nun gar nicht :(
Wenn mich nicht alles taeuscht, soll gezeigt werden, dass die Loesung der DGL eine ganz bestimmte Gestalt hat; den Beweis fuer diese Behauptung wollte ich Dir aufzeigen. Wenn Du konkreter fragst, werde ich versuchen zu helfen. Vielleicht habe ich ja etwas missverstanden.
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Das wäre sehr nett wenn du mir das ausführlich zeigen kannst. Ich kriege es wirklich nicht an! Und bis um 24 Uhr muss ich die Aufgabe absenden.
Ich weiß wie du es meinst, also was ich zeigen muss und wie da herangehen muss, aber ich kriege es nicht hin.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 So 30.10.2011 | | Autor: | hippias |
Ich kann es nicht viel anders erklaeren, als ich es schon geschrieben habe: Sei $ g $ ist Loesung der DGL (wie auch [mm] $y_{p}$), [/mm] also gilt $g'= ag+f$. Bilde nun [mm] $(g-y_{p})'$ [/mm] und vereinfache den Term. Es folgt [mm] $(g-y_{p})'-a(g-y_{p})= [/mm] ...$. Nun weiss man wie die Integrale der Gleichung $y'-ay= 0$ ausschauen - es sind die Exp.funktionen $ [mm] ce^{ax} [/mm] $ - sodass $ [mm] g-y_{p}= ce^{ax} [/mm] $ folgt. Daraus ergibt sich leicht die geforderte Gestalt der Loesung $g$.
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Aber wie muss ich g genauer definieren? Reicht es schon das zu zeigen was du mir erklärt hast? Ich frage bloß. weil es auf die Aufgabe viele Punkte gibt.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 30.10.2011 | | Autor: | hippias |
Tja, viele Punkte, viel Arbeit! Jedoch nicht hier: Alles was Du ueber $g$ wissen musst, ist, dass $g'= ag+f$ ist (und ebenso fuer [mm] $y_{p}$). [/mm] Du schaffst das schon.
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