Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 30.01.2007 | | Autor: | BenRen |
Hallo,
ich habe eine Reihe gegeben, zu der ich prüfen soll, ob sie endlich sei.
Gegeben sei der Raum V aller reellen Zahlenfolgen [mm] (x_{2}) [/mm] von k=1 bis [mm] \infty [/mm] . Ist für alle x, y [mm] \in [/mm] V der Wert
d(x, y) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{|x_{k} - y_{k}|}{1+|x_{k} - y_{k}|}
[/mm]
endlich?
Ich muss also schauen, ob die Reihe d(x,y) konvergiert oder divergiert.
Leider habe ich dazu noch überhaupt keinen richtigen Ansatz, könnte man vielleicht was mit der geometrischen Reihe anfangen? Oder es mit einem Kriterium zeigen? Kann man etwas erkennen, dass d(x,y) vielleicht divergiert?
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Mi 31.01.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
Majorantenkrit. mit geom. Reihe, Der Bruch ist immer <1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mi 31.01.2007 | | Autor: | BenRen |
Vielen Dank für Deine Antwort,
könntest Du mir noch sagen, woran Du das erkannt hast? Gibt es irgendwas "typisches", ein Merkmal, was einem sofort auffallen sollte? Warum Majorantenkriterium?
Vielen Dank!
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[mm]2^{-k} = (\bruch{1}{2})^k [/mm]
[mm]\bruch{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|} \le 1[/mm]
Und nun versuch mal
[mm] 2^{-k}\bruch{|x_k - y_k|}{1 + |x_k - y_k|} [/mm] abzuschätzen.
Gruß,
Gono.
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