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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzbereich für [mm] z\in\IC [/mm] der Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\wurzel{k!}z^{k} [/mm] |
Hallo!
Ich habe versucht diese Aufgabe mit dem Quotientenkriterium zu lösen. Meine Frage bezieht sich auch eher auf die allgemeine Anwendung des Quotientenkriteriums.
Brauche ich beim Quotientenkriterum nur [mm] \wurzel{k!} [/mm] beachten?Die Frage ist eigentlich, ob meine Anwendung 1 oder Anwendung 2 richtig ist. 1.Anwendung: [mm] \bruch{|\wurzel{(k+1)!}|}{|\wurzel{(k)!}|} [/mm] = [mm] {|\wurzel{(k+1)|}} [/mm] und dies geht für [mm] k\to\infty [/mm] gegen [mm] \infty. [/mm] Somit divergiert die Reihe.
2.Anwenung: [mm] \bruch{|\wurzel{(k+1)!}z^{k+1}|}{|\wurzel{(k)!}z^{k}|}={|\wurzel{(k+1)}z|}<1.
[/mm]
Da k gegen [mm] \infty [/mm] geht, kann die Reihe nur konvergieren, wenn|z|<1 ist.
Also eine von beiden Lösungen muss ja falsch sein, anscheinend hab ich das Quotientenkriterium noch nicht ganz verstanden.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank schonmal!
Tinamol
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Aloa Tina,
Quotienkrieterium heißt: [tex] | a_{n+1}:a_{n} | \le q [/tex], wobei q natürlich echtkleiner 1 ist.
Also ist die von dir aufgezeigt 'Lösung 2' der richtige Weg. Die Unterscheidung mit |z| < 1 ist schonmal ein guter Ansatz. Evtl. kann es jedoch helfen, wenn du dir den Fall -1<z<0 (also z negativ und größer als -1) gesondert hernimmst und dabei evtl. das Konvergenzkriterium für alternierende Reihen (aka Leibniz-Kriterium) beachtest.
Namárie,
sagt ein Lary, wo mal weiterhuscht
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