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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Berechne die Fouriertransformierte der Funktion f(x) = [mm] e^{-x^2/2}. [/mm] |
Hallo,
ich hoffe das ist ein einfaches Beispiel um mal eine Fouriertransformierte auszurechnen. Irgendwie blick ich bei dem Stoff noch nicht so ganz durch.
D.h. als erstes muss ich die Fourierkoeffizienten berechnen:
[mm] c_n [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) [mm] e^{- 2 \pi i n x} [/mm] dx = [mm] \int e^{-x^2 - 2 \pi i n x} [/mm] dx.
Jetzt stellt sich wieder die Frage: woher weiß ich welche Grenzen zu wählen sind? Und wann sollte ich die reellen, wann die komplexen [mm] c_n [/mm] nehemen? Wobei wir nur diese [mm] c_n [/mm] 's eingeführt haben...
Und hier sind wir im kontinuierlichen Fall, oder?
D.h. die Darstellung von f durch ihre Fouriertransformierte g lautet
f(x) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] g(y) [mm] e^{2 \pi i x y} [/mm] dy, mit
g(y) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] e^{- 2 \pi i x y} [/mm] dy.
Hm, d.h. die [mm] c_n's [/mm] entprechen g(y) ?
Oder funktioniert das hier über Reihendarstellung...?
Sorry, ich bekomm das gerade nicht sortiert, leider hatten wir in AnaI keine Zeit mehr Fourierreihen zu betrachten aber legen jetzt gleich mit Fourierintegralen los, irgendwie ist das auf Löcher gebaut... ;-( ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Riley,
da geht ja noch so einiges durcheinander, wie ich das Gefühl habe, aber ich hoffe, ich kann dabei helfen, etwas aufzuräumen.
Was Du machen sollst, ist das Fourierintegral dieser Funktion auszurechnen. Hierbei ist nichts diskret, das Ganze ist kontinuierlich und insofern ist Dein Ansatz über Fourierkoeffizienten [mm] c_n [/mm] nicht zielführend, um es mal so zu sagen.
Was Du lösen musst ist das Fourierintegral
$$ F(y) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] e^{iyx} \, [/mm] dx [mm] \, [/mm] . $$ Das geht sogar und hier ein kleiner Tipp zur Kontrolle. Die Fouriertransformierte von [mm] e^{-ax^2} [/mm] lautet
$$ [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{a}} e^{- \bruch{y^2}{4a}} \, [/mm] . $$
Viel Erfolg dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 So 25.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Infinit,
vielen Dank für die Tipps! 
Also dann wäre ja a = 1/2 und nach deiner Formel müsste die gesuchte Transformierte [mm] e^{\frac{-y^2}{2}} [/mm] sein, stimmt das?
Ich versteh nur noch nicht wie man dahin kommt, wenn ich f(x) = [mm] e^{-x^2/2} [/mm] in das Integral einsetze:
F(x) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} x^2 + i y x} [/mm] dx
Wie kann ich das berechnen, vor allem was muss ich mit dem i machen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 25.05.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Riley,
Versuchs mal mit Quadratischem Ergänzen im Exponenten. Nach einer Substitution solltest du ein dir bekanntes Integral vor dir stehen haben. =)
Viele Grüsse,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 27.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
vielen Dank für die Hinweise!
Also das mit der quadratischen Ergänzung hab ich nun gemacht:
[mm] \int_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} x^2 + iyx} [/mm] dx
= [mm] e^{\frac{1}{2}y^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}} x - \frac{\sqrt{2}}{2} i y )^2} [/mm] dx
d.h. ich habe [mm] -\frac{1}{2} y^2 [/mm] egänzt. Hast du das so gemeint?
Jetzt müsste das Integral ja eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein und damit 1, dann hätte ich ja das gewünschte Ergebnis.
Nur seh ich noch nicht was ich substituieren muss?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 28.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hallo,
> vielen Dank für die Hinweise!
> Also das mit der quadratischen Ergänzung hab ich nun
> gemacht:
>
> [mm]\int_{- \infty}^{\infty} e^{-\frac{1}{2} x^2 + iyx}[/mm] dx
>
> = [mm]e^{\frac{1}{2}y^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}} x - \frac{\sqrt{2}}{2} i y )^2}[/mm]
> dx
>
> d.h. ich habe [mm]-\frac{1}{2} y^2[/mm] egänzt. Hast du das so
> gemeint?
Ja, bis auf die Tatsache, dass du [mm]\red{+}\frac{1}{2} y^2[/mm] ergänzt hast:
[mm]-(\frac{1}{\sqrt{2}} x - \frac{\sqrt{2}}{2} i y )^2 = - \frac{1}{2}x^2 +ixy - \frac{1}{2}\red{i^2} y^2[/mm].
Du bekommst also:
[mm] = e^{\red{-}\frac{1}{2}y^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}} x - \frac{\sqrt{2}}{2} i y )^2}dx[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
heraus.
> Jetzt müsste das Integral ja eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung sein und damit 1, dann hätte
> ich ja das gewünschte Ergebnis.
Fast: so wie's da steht, ist es $\sqrt{2\pi}}$.
> Nur seh ich noch nicht was ich substituieren muss?
Die übliche Methode ist die Substitution $u=x-iy$. (Genau genommen muss man dabei beachten, dass die Integrationsgrenzen auch um iy verschoben werden. Das heisst, man muss eigentlich nachweisen, dass es nichts ändert, wenn man das iy bei den Grenzen weglässt. )
Viele Grüße,
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Do 29.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah, vielen Dank für den Tipp, irgendwie stand ich echt auf dem Schlauch.
Durch Subsitutieren bekomm ich dann das Integral
[mm] \int e^{-\frac{1}{2} u^2} [/mm] du. Hm, aber da man doch von minus bis plus unendlich integriert, wie kann ich das mit den Grenzen zeigen?
Insegsamt kommt ja dann heraus: [mm] \sqrt{2 \pi} e^{-\frac{1}{2} y^2}, [/mm] stimmt das? Weil nach der Formel von Infinit wäre es ja etwas anderes, oder?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Do 29.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> ah, vielen Dank für den Tipp, irgendwie stand ich echt auf
> dem Schlauch.
> Durch Subsitutieren bekomm ich dann das Integral
>
> [mm]\int e^{-\frac{1}{2} u^2}[/mm] du. Hm, aber da man doch von
> minus bis plus unendlich integriert, wie kann ich das mit
> den Grenzen zeigen?
Etwa so (ohne alle Funktionen auszuschreiben): Das uneigentliche Integral ist definiert als Grenzwert:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} f(z) dz = \limes_{a\to-\infty,b\to+\infty} \integral_{a}^{b} f(z) dz [/mm]
Durch die Substitution verschiebst du die Grenzen um eine rein imaginäre Konstante $i*c$, dadurch entsteht:
[mm] \limes_{a\to-\infty,b\to+\infty} \integral_{a+ic}^{b+ic} f(u-ic) du = \limes_{a\to-\infty,b\to+\infty} \left ( \integral_{a+ic}^{a} f(u-ic) du + \integral_{a}^{b} f(u-ic) du+
\integral_{b}^{b+ic} f(u-ic) du\right)[/mm]
Das mittlere Integral ist das, was rauskommt. Für die anderen beiden zeigt man, dass sie im Grenzfall [mm] $a\to-\infty$ [/mm] bzw [mm] $b\to+\infty$ [/mm] 0 werden. Zum Beispiel durch Substitution $u=a+v$:
[mm] \integral_{a+ic}^{a} f(u-ic) du = \integral_{ic}^{0} f(a-ic+v) dv [/mm]
Jetzt ist aber f eine Gauss-Funktion, sodass ein Faktor [mm] $e^{-a^2}$ [/mm] auftritt, den du vor das Integral ziehen kannst und der im Grenzfall [mm] $a\to-\infty$ [/mm] gegen 0 geht. Da das verbleibende Integral beschränkt ist, geht das Ganze gegen 0.
> Insegsamt kommt ja dann heraus: [mm]\sqrt{2 \pi} e^{-\frac{1}{2} y^2},[/mm]
> stimmt das? Weil nach der Formel von Infinit wäre es ja
> etwas anderes, oder?
Nur der Vorfaktor, und da musst du aufpassen, welche Definition für die Fouriertransformierte benutzt wurde. Ich kenne drei Varianten, je nachdem, ob vor dem Integral gar nichts, [mm] $1/\sqrt{2\pi}$ [/mm] oder [mm] $1/(2\pi)$ [/mm] steht. Infinits Lösung benutzt den Vorfaktor [mm] $1/\sqrt{2\pi}$ [/mm] vor dem Integral.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 29.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah okay, vielen Dank für die Erklärungen, das hab ich verstanden.
Hab nur grad gesehen, dass bei uns die Fouriert-Transformierte doch etwas anders definiert ist:
g(y) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} [/mm] f(x) [mm] e^{-2 \pi i xy}, [/mm] so wie ich es im ersten Post auch irgendwo stehen hatte.
Sind diese Definitionen äquivalent und es ist eigentlich egal mit welcher man es macht? Weil da ist jetzt das 2 [mm] \pi [/mm] in der Exp-fkt, bei der von Infinit war das mit der Wurzel vor dem Integral...
Also wann nimmt man welche Defnition, für was ist das gut?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Do 29.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi Rainer,
> ah okay, vielen Dank für die Erklärungen, das hab ich
> verstanden.
> Hab nur grad gesehen, dass bei uns die
> Fouriert-Transformierte doch etwas anders definiert ist:
>
> g(y) = [mm]\int_{-\infty}^{\infty}[/mm] f(x) [mm]e^{-2 \pi i xy},[/mm] so wie
> ich es im ersten Post auch irgendwo stehen hatte.
>
> Sind diese Definitionen äquivalent und es ist eigentlich
> egal mit welcher man es macht? Weil da ist jetzt das 2 [mm]\pi[/mm]
> in der Exp-fkt, bei der von Infinit war das mit der Wurzel
> vor dem Integral...
Im Prinzip ist es egal, das ist reine Konvention. Mit dem [mm] $2\pi$ [/mm] im Exponenten bedeutet y die Frequenz, ohne den Faktor die Kreisfrequenz.
> Also wann nimmt man welche Defnition, für was ist das
> gut?
Bei den Vorfaktoren nimmt man gerne [mm] $1/\sqrt{2\pi}$, [/mm] weil die F-Trafo dann unitär ist, also Norm und Skalarprodukt erhält.
Viele Grüße
Rainer
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