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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:23 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Rina |
Hallo,
wir haben ein paar Hausaufgaben aufbekommen und ich komme teilweise einfach nicht weiter, ich erwarte nich nur Lösungen, weningstens Lösungsansätze oder so.
Also: 1)Gegeben sind f und g durch f(x)=0,5x²+2 und g(x)=x²-2x+2. Für welchen Wert x Element [0;4] wird die Summe der Funktionswerte extremal?Um welche Art von Extremen handelt es sich?Geben Sie das Extremum an. --> Ich versteh den Ansatz nicht, Extremum bestimmen ist ja einfach...
2) Eine 400m Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen Für welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal?
Wäre wirklich toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte mir fehlt die richtige Denkrichtung....
Danke im Vorraus, schönen Sonntag noch Rina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:44 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Rina,
willkommen noch mal von dieser Stelle aus im MatheRaum! 
> Also: 1)Gegeben sind f und g durch f(x)=0,5x²+2 und
> g(x)=x²-2x+2. Für welchen Wert x Element [0;4] wird die
> Summe der Funktionswerte extremal?Um welche Art von
> Extremen handelt es sich?Geben Sie das Extremum an. -->
> Ich versteh den Ansatz nicht, Extremum bestimmen ist ja
> einfach...
Der Anfang ist auch einfach.
Es soll ja die Summe der Funktionswerte extremal werden, die Summe der Funktionswerte ist f(x)+g(x)=0,5x²+2 + x²-2x+2 = 2,5x²-2x+4.
Es ist hier also nur das Extremum von 2,5x²-2x+4 zu bestimmen.
> 2) Eine 400m Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei
> parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen Für
> welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige
> Spielfläche maximal?
Diese Aufgabe ist schon schwieriger, es handelt sich hier um eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung.
Die Extremalbedingung ist: A=a*b soll maximal werden.
Die Nebenbedingung ist die Länge L=400m der Laufbahn.
Diese besteht ja aus zwei Halbkreisen mit dem Radius a/2 und den beiden parallelen Strecken der Länge b (klar?)
Deswegen gilt: [mm] $L=2*\pi*\bruch{a}{2}+2b$ [/mm] (der erste Summand ist einfach der Umfang eines Kreises mit dem Radius a/2)
Diese Nebenbedingung kann nach einer der Variablen a,b aufgelöst werden, der Einfachheit halber nehme ich b:
$400= [mm] 2*\pi*\bruch{a}{2}+2b$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $200= [mm] \pi*\bruch{a}{2}+b$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $200-\pi*\bruch{a}{2}=b$
[/mm]
Dieses $b$ kann nun in die Extremalbedingung eingesetzt werden, wir erhalten eine Funktion, die nur noch von einer Variable abhängig ist, genannt Zielfunktion:
[mm] $A(a)=a*b=a*\left(200-\pi*\bruch{a}{2}\right)$
[/mm]
Von dieser kann nun ganz einfach das (relative) Maximum bestimmt werden.
Überprüfung der Randwerte 0 und 4 nicht vergessen.
> Wäre wirklich toll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte mir
> fehlt die richtige Denkrichtung....
Ich hoffe, meine Antwort kommt für Montag noch nicht zu spät. Bei weiteren Fragen etc. melde dich bitte einfach wieder.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Rina |
Vielen lieben Dank für die schnelle Lösung, jetzt erscheint es richtig einfach, darauf muss man nur einmal kommen.
Ich finde es wirklich super, dass es hier Menschen gibt, die anderen mit Mathe etc. helfen wollen, und auch antworten, bei anderen Foren geht das ja nicht so schnell!
Viele liebe Grüße Rina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Paulus,
danke, für den Hinweis, war wohl etwas spät gestern/heute.
Marc
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Ist es möglich, dass bei dieser Aufgabe die längere Seite ca. 100m und die kürzere ca. 63m lang ist? Wenn nicht, würd ich um eine Fortsetzung des Ansatzes oben bitten.
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Di 15.06.2004 | | Autor: | Oliver |
Hallo Dettenboy,
> Ist es möglich, dass bei dieser Aufgabe die längere Seite
> ca. 100m und die kürzere ca. 63m lang ist? Wenn nicht, würd
> ich um eine Fortsetzung des Ansatzes oben bitten.
Perfekt ... $a=200/ [mm] \pi$ [/mm] und $b=100$.
Was mir gerade auffällt: Das dürfte sogar ungefähr den Maßen der tatsächlichen Laufbahnen entsprechen ...
Bye
Oliver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Sa 13.08.2005 | | Autor: | Disap |
Hi.
Für die Nachwelt muss ich auf einen weiteren Fehler hinweisen:
>
> Der Anfang ist auch einfach.
> Es soll ja die Summe der Funktionswerte extremal werden,
> die Summe der Funktionswerte ist f(x)+g(x)=0,5x²+2 +
> x²-2x+2 = 2,5x²-2x+4.
>
0,5x²+2 + x²-2x+2 [mm] \not= [/mm] 2,5x²-2x+4.
da
[mm] 0,5x^2+x^2 \not= 2,5x^2 [/mm]
ist, sondern [mm] 1,5x^2,
[/mm]
die weiteren Rechnungen
-2x+2+2 = -2x+4
stimmen allerdings
[mm] \Rightarrow [/mm] h(x) = [mm] 1,5x^2-2x+4
[/mm]
Grüße Disap
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