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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Sa 19.04.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm]A=(a_{ij})\in M(n\times n,K)[/mm] Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm]det(a_{ij})=det((-1)^{i+j}a_{ij})[/mm].
Hinweis: Weisen Sie nach, dass die Abbildung:
[mm]M(n\times n, K)\to K[/mm]
[mm]A\mapsto det((-1)^{i+j}a_{ij})[/mm]
eine Determinantenabbildung ist. |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
es steht zwar in der Aufgabenstellung genau was ich tun soll. Aber ich hab dennoch ein paar Fragen.
(D1) det ist linear in jeder Zeile.
Kann ich das so aufschreiben?
[mm]det \vektor{((-1)^{i+j}a_{ij})^t\\...\\ (\lambda ((-1)^{i+j}a_{ij}))^t\\...\\((-1)^{i+j}a_n))^t}[/mm]
[mm]=\lambda det \vektor{((-1)^{i+j}a_{ij})^t\\...\\ ((-1)^{i+j}a_{ij})^t\\...\\((-1)^{i+j}a_n))^t}[/mm]
und
[mm]det \vektor{((-1)^{i+j}a_{ij})^t\\...\\ ((-1)^{i+j}a_{ij}+(-1)^{i+j}a'_{ij})^t\\...\\((-1)^{i+j}a_n))^t}[/mm]
[mm]= det \vektor{((-1)^{i+j}a_{ij})^t\\...\\ ((-1)^{i+j}a_{ij}))^t\\...\\((-1)^{i+j}a_n))^t} + det \vektor{...\\((-1)^{i+j}a'_{ij})^t\\...}[/mm]
(D2) det ist alternierend, d.h. stimmen zwei Zeilen überein so ist det A=0.
Angenommen die i-te und j-te Zeilen stimmen überein, dann unterscheiden sie sich um [mm](-1)^{i+j}[/mm], also um das Vorzeihen.
Warum verschwinden sie dann trotzdem? Weil es sich nur auf das Vorzeichen bezieht, welches man dann ja mit null multipliziert.
(D3)det ist nominiert, also [mm]det (E_n)=1[/mm]
Es müsste gelten:
[mm]det((-1)^{i+j}a_{ij})= det(a_{ij})=1[/mm]
aber wieso?
Grüße,
Marie
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Hallo,
deine Frage wurd hier bereits gestellt und beantwortet.
Viele Grüße
Danie
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