Bogenlänge berechnen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!!!!
Ich habe ein Beispiel, bei dem ich nicht weiterkomme. Ich hoffe, jemand kann mir dabei helfen.
f(x) = 1/4 * x² + 3
[3;4]
Ich muss die Bogenlänge berechnen, also:
f'(x) = 1/2 * x
[f'(x)]² = 1/4 * x²
[f'(x)]² + 1 = 1 + 1/4 * x²
[mm] \integral_{3}^{4} [/mm] { [mm] \wurzel{1 + 1/4 * x²} [/mm] dx}
[mm] \integral_{3}^{4} [/mm] { [mm] \wurzel{(x² + 4)/4} [/mm] dx}
dann: 1/2 * [mm] \integral_{3}^{4} [/mm] { [mm] \wurzel{x² + 4} [/mm] dx}
dann wollte ich substituieren, aber dann kommt mir für u'=2x raus
--> 1/2 * [mm] \integral_{3}^{4} [/mm] { [mm] \wurzel{u} [/mm] * du * 1/2x}
und das kann ich nicht integrieren, oder?
Bitte helft mir!!!
Andrea
Ich habe diese Frage schon hier gepostet:
http://www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000003997&read=1&kat=Schule
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 22.02.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Andrea!
So neu bist du doch hier nicht mehr - eigentlich müsstest du da unsere Forenregeln kennen.
Vielleicht probierst du's mal mit dem Formeleditor, dann wird deine Aufgabe wesentlich leserlicher und es beschäftigt sich bestimmt jemand damit.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo andrea,
probiere mal diese Substitution:
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;2\;\sinh (u) \hfill \\
dx\; = \;2\;\cosh (u)\;du \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo Andrea,
> Ich habe ein Beispiel, bei dem ich nicht weiterkomme. Ich
> hoffe, jemand kann mir dabei helfen.
>
> [mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] + 3$
>
> Ich muss die Bogenlänge im Intervall [mm] $\left[3, 4\right]$ [/mm] berechnen, also:
>
> [mm] $f'\left(x\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x$
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm] $\left[f'\left(x\right)\right]^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^2$
[/mm]
> [mm] $\left[f'\left(x\right)\right]^2 [/mm] + 1 = 1 + [mm] \bruch{1}{4}x^2$
[/mm]
> [mm]\integral_{3}^{4}{\wurzel{1 + \bruch{1}{4}x^2}dx} = \integral_{3}^{4}{\wurzel{\bruch{x^2 + 4}{4}}dx}[/mm]
> dann: [mm]\bruch{1}{2}\integral_{3}^{4}{\wurzel{x^2 + 4}dx}[/mm]
> dann wollte ich substituieren, aber dann kommt mir für
> $u' = 2x$ raus
>
> [m]\Rightarrow \bruch{1}{2}\integral_{3}^{4}{\wurzel{u}du * \bruch{1}{2x}}[/m]
>
> und das kann ich nicht integrieren, oder?
Hmm, Du scheinst noch einige Probleme mit Substitution zu haben. Na ja und um zu üben hast du dir nicht gerade das leichteste Integral ausgesucht. Die Integration eines Bogenlängenintegrals kann sehr langwierig sein. Entweder man führt sowas auf eine Kreisbogenfunktion zurück und integriert mit Produktintegration (der Preis dafür ist allerdings ziemlich hoch. Man muß dann mit komplexen Zahlen rechnen und kriegt am Ende komplexe arcsin-Werte raus, die offenbar auch ziemlich hartnäckig sind. :-( ) oder man benutzt eine Substitution, die ich hier von Paul gelernt habe. Der Trick ist in diesem Falle eine Substitution mit [m]g\left(t\right) = \sinh\left(t\right)[/m]. Bevor wir aber dazu kommen, müssen wir noch eine andere leichte Substitution am Integral durchführen:
[m]\begin{gathered}
x\left( z \right) = 2z\quad z = 2x \Rightarrow \bar x\left( z \right) = \frac{z}
{2} \hfill \\
x'\left( z \right) = 2\quad \bar x\left( 4 \right) = 2\quad \bar x\left( 3 \right) = 1.5 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Was habe ich hier gemacht? Zunächst einmal will ich für x etwas anderes einsetzen (man sagt dazu substituieren!). Weil das Integral an sich aber eine Funktion ist (also Stammfunktion), können wir x nicht einfach so ersetzen und dann fröhlich integrieren, weil wir durch das Ersetzen von x eine andere Funktion erhalten. Deshalb müssen wir auch die Integrationsgrenzen an diese Funktion anpassen und noch andere Vorkehrungen treffen. Im Grunde genommen ist die Integration durch Substitution die Umkehrung der Kettenregel bei der Ableitung:
[m]\left( {F\left( {g\left( x \right)} \right)} \right)' = F'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)[/m]
oder anders (und hoffentlich richtig) aufgeschrieben:
[m]\left( {F \circ g} \right)'\left( x \right) = \left( {F' \circ g} \right)\left( x \right)*g'\left( x \right)[/m]
Wenn du diese Gleichung von rechts nach links liest, so besagt sie, daß einer Funktion, die in der Form [m]f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)[/m] vorliegt die Stammfunktion [m]{F\left( {g\left( x \right)} \right)}[/m] entspricht. Mit anderen Worten: [m]\int {f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)} dx = F\left( {g\left( x \right)} \right) = F\left( g \right) = \int {f\left( g \right)} dg[/m]. So ähnlich mußt du dir das vorstellen.
Ok, und was ich oben gemacht habe, ist folgendes (jetzt mal in Form eines Algorithmus):
1.) x durch eine andere Funktion ersetzen
2.) Neue Funktion ableiten
3.) Umkehrfunktion der neuen Funktion bilden
4.) Grenzen in die Umkehrfunktion einsetzen und neu berechnen
5.) dx im alten Integral durch <Ableitung der neuen Funktion>d<neue Integrationsvariable> ersetzen.
6.) Wie gewünscht substitutieren
7.) Neue Grenzen einsetzen
Wenn Du dies alles befolgst, sieht das so aus:
[m]\int\limits_3^4 {\sqrt {x^2 + 4} } dx = \int\limits_{1.5}^2 {\sqrt {4z^2 + 4} *2} dz = 4\int\limits_{1.5}^2 {\sqrt {z^2 + 1} } dz[/m]
Jetzt substituieren wir mit [mm] $\sinh$:
[/mm]
[m]\begin{gathered}
z\left( t \right) = \sinh \left( t \right)\quad z'\left( t \right) = \cosh \left( t \right) \hfill \\
\bar z\left( t \right) = \mathrm{arsinh}\left( t \right)\quad \bar z\left( {1.5} \right) = \ln \left( {1.5 + \sqrt {1.5^2 + 1} } \right) = \ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right) \hfill \\
\bar z\left( 2 \right) = \ln \left( {2 + \sqrt {4 + 1} } \right) = \ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
[m] \Rightarrow 4\int\limits_{1.5}^2 {\sqrt {z^2 + 1} } dz = 4\int\limits_{\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)}^{\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right)} {\sqrt {\sinh ^2 \left( t \right) + 1} \cosh \left( t \right)} dt[/m]
Wegen [m]\cosh ^2 \left( k \right) - \sinh ^2 \left( k \right) = 1[/m] gilt:
[m]\begin{gathered}
4\int\limits_{\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)}^{\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right)} {\sqrt {\sinh ^2 \left( t \right) + 1} \cosh \left( t \right)} dt = 4\int\limits_{\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)}^{\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right)} {\cosh ^2 \left( t \right)} dt \hfill \\
= 4\int\limits_{\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)}^{\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right)} {\frac{{e^{2t} + 2\overbrace {e^t e^{ - t} }^1 + e^{ - 2t} }}
{4}} dt = \int\limits_{\cdots}^{\cdots}{e^{2t} } dt + \int\limits_{\cdots}^{\cdots} 2 dt + \int\limits_{\cdots}^{\cdots}{e^{ - 2t} } dt \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Wegen [m]\left( {e^{2t} } \right)^{'} = 2e^{2t}[/m] und [m]\left( {e^{ - 2t} } \right)^{'} = - 2e^{ - 2t}[/m] gilt:
[m]\begin{gathered}
= \frac{1}
{2}\int\limits_{\cdots}^{\cdots}{2e^{2t} } dt + \left[ {2t} \right]_{\cdots}^{\cdots} - \frac{1}
{2}\int\limits_{\cdots}^{\cdots}{ - 2e^{ - 2t} } dt = \frac{1}
{2}\left[ {e^{2t} } \right]_{\cdots}^{\cdots} + \left[ {2t} \right]_{\cdots}^{\cdots} - \frac{1}
{2}\left[ {e^{ - 2t} } \right]_{\cdots}^{\cdots} \hfill \\
= \frac{1}
{2}\left( {e^{2\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right)} - e^{2\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)} } \right) + 2\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right) - 2\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right) - \hfill \\
\frac{1}
{2}\left( {e^{ - 2\ln \left( {2 + \sqrt 5 } \right)} - e^{ - 2\ln \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)} } \right) = \frac{1}
{2}\left( {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2 - \left( {1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}} \right)^2 } \right) + \ln \left( {\left( {\frac{{2 + \sqrt 5 }}
{{1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}}}} \right)^2 } \right) - \hfill \\
\frac{1}
{2}\left( {\left( {\frac{1}
{{2 + \sqrt 5 }}} \right)^2 - \left( {\frac{1}
{{1.5 + \frac{{\sqrt {13} }}
{2}}}} \right)^2 } \right) \approx 4.033689512 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
So das war's. Dieser Ausdruck läßt sich noch bestimmt weiter
vereinfachen! 
Viele Grüße
Karl
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