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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:48 Do 12.05.2005 | | Autor: | Limboman |
Hallo ihr!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe.
Man zeige, daß für alle m,n [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \le [/mm] n, gilt: m! (n-m)! teilt n!.
Hinweis: (n + 1)! = n! (n + 1 - m) + n!m.
Mit dem Hinweis kann ich schon mal gar nichts anfangen.
Habe es schon mit Induktion probiert was ich eigentlich denke was auch der richtige Weg sein könnte aber außer
n=0
[mm] \bruch{n!}{m!(n-m)!} [/mm] = [mm] \bruch{0!}{0!(0-0)!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
habe ich nichts hinbekommen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Wäre euch sehr dankbar.
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Hallo!
Ich glaube, dass du eine doppelte Induktion brauchst, also über $n$ und $m$. Du zeigst also zuerst, dass es für $m,n=0$ gilt, dann für $n+1$, dass es für $m=0$ gilt und betrachtest dann das Paar $n+1, m$, [mm] $m\ge [/mm] 1$.
Anhand des Tipps würde ich mal vermuten, dass du im Induktionsschritt zeigen sollst, dass $m!(n+1-m)!|n!(n+1-m)+n!m$. Dazu ist zu zeigen, dass
1. $m!(n+1-m)!|n!(n+1-m)$
2. $m!(n+1-m)!|n!m$
zu 1.: Hier benutzt du, dass [mm] $m!(n+1-m)!=m!(n-m)!\cdot(n+1-m)$ [/mm] ist. Für $n$ ist die Behauptung ja schon gezeigt...
zu 2.: Hier benutzt du, dass [mm] $m!(n+1-m)!=m\cdot(m-1)!(n-(m-1))!$ [/mm] ist. Für $n$ und $m-1$ ist die Behauptung ja schon gezeigt...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 12.05.2005 | | Autor: | Limboman |
Also wenn ich es für m,n=0 zeige folgt daraus ja das selbe wie ich am Anfang gezeigt habe aber dann ?
Meist du etwa
m=0 und n=n+1
[mm] \bruch{(n+1)!}{0!((n+1)-0!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{(n+1)!} [/mm] = 1 ?
[mm] \bruch{(n+1)!}{m!((n+1)-m)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!(n+1-m)!+n!m}{m!(-m+n+1)\*(n-m)!} [/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{(-m+n+1)} \* \bruch{n!}{m!\*(n-m)!}
[/mm]
??????
Wenn ja wie soll ich jetzt weiter machen? Ich glaub ich habs immer noch nicht ganz verstanden
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Hallo!
Danke für den Hinweis auf den Fehler. Hier ist der Beweis nochmal (fehlerfrei hoffentlich).
Beweis:
[mm] \vektor{n+1 \\ m} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)!}{m!(n+1-m)!} [/mm]
(lt. Hinweis) = [mm] \bruch{n!(n+1-m)+n!m}{m!(n+1-m)!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!(n+1-m)}{m!(n+1-m)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!m}{m!(n+1-m)!} [/mm]
= [mm] \bruch{n!(n+1-m)}{m!(n-m)!(n+1-m)} [/mm] + [mm] \bruch{n!m}{(m-1)! \cdot m \cdot (n-(m-1))!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!(n+1-m)}{m!(n-m)!(n+1-m)} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-(m-1))!}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!}{m!(n-m)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{(m-1)!(n-(m-1))!}
[/mm]
= [mm] \underbrace{\vektor{n \\ m}}_{\in \IN} [/mm] + [mm] \underbrace{\underbrace{\vektor{n \\ (m-1)}}_{\in \IN}}_{gilt,\ da \ n>1, \ m n, \ also \ ist \ der \ Ausdruck \ def. \ und \ \in \ \IN}
[/mm]
Also gilt [mm] \forall [/mm] m,n [mm] \in \IN, [/mm] m [mm] \le [/mm] n: [mm] \vektor{n \\ m} \in \IN.
[/mm]
Andererseits ist [mm] \vektor{n \\ m} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{m!(n-m)!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{n!}{m!(n-m)!} \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow m!\cdot(n-m)! [/mm] teilt n. [mm] \Box
[/mm]
Gruss,
TU-Berlin Student
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Fr 13.05.2005 | | Autor: | banachella |
Hallo logarithmus!
Ich glaube, dass du hier:
> = [mm]\bruch{n!(n+1-m)}{m!(n-m)!(n+1-m)}[/mm] + [mm]\bruch{n!m \cdot (n-m)}{m!(n-(m-1))!(n-m)}[/mm]
> = [mm]\bruch{n!}{m!(n-m)!}[/mm] + [mm]\bruch{n!}{m!(n-m)!} \cdot[/mm] n [mm]\cdot[/mm] (n-m)
einen Wurm drin hast, denn [mm] $(n-(m-1))!=(n+1-m)!=(n+1-m)\cdot(n-m)!$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Fr 13.05.2005 | | Autor: | Limboman |
Vielen Dank!
Jetzt habe ich auch verstanden wie das am Anfang gemeint war.
Danke für deine Hilfe
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