Beweis ggt / kgv < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Sa 16.10.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo...
neues Semester und nun fangen schon wieder die Fragen an...
Ich habe eine Aufgabe, in der ich folgendes zeigen soll:
ggT(z,kgV(b,d))=ggT(z,ggT(b,d)). Dabei steht in der Aufgabenstellung noch, dass [mm] \bruch{a}{b} [/mm] und [mm] \bruch{c}{d} [/mm] gekürzt sind und [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d}=\bruch{z}{kgV(b,d)}
[/mm]
Meine bisherigen Überlegungen dazu sind ziemlich ernüchtern...klar, ist was hinter dieser Aufgabe steckt. Zeigen kann ich dies allerdings nur nicht.
Ich bin erst von dem Bruch ausgegangen: [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d}=\bruch{ad+cb}{bd}=\bruch{la+kc}{kgV(b,d)}=\bruch{z}{kgV(b,d)}
[/mm]
Dadurch ist mir zwar der Zusammenhang zwischen ggT und kgV aufgefallen, leider hat es mich auch nicht dem gewünschten Ziel gebracht: [mm] \bruch{bd}{ggT(b,d)} [/mm] =kgV(b,d)
Die obrige Gleichung, die ich beweisen soll hab ich dann auch mal umgestellt: ggT(z,kgV(b,d))=ggT(z,ggT(b,d))
m=ggT(z,ggT(b,d)) [mm] \gdw [/mm] m|z, m|ggT(b,d) [mm] \Rightarrow [/mm] m|z, m|b, m|d [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(z,b,d) aber wie komme ich nun auf ggt(z,kgV(b,d))???
Hat jemand Tipps, Ideen,..? Irgendwas für mich? Ich wäre euch total dankbar....
Grüße, eure kiwibox
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Hallo kiwibox,
> Ich habe eine Aufgabe, in der ich folgendes zeigen soll:
> ggT(z,kgV(b,d))=ggT(z,ggT(b,d)). Dabei steht in der
> Aufgabenstellung noch, dass [mm]\bruch{a}{b}[/mm] und [mm]\bruch{c}{d}[/mm]
> gekürzt sind und [mm]\bruch{a}{b}[/mm] +
> [mm]\bruch{c}{d}=\bruch{z}{kgV(b,d)}[/mm]
Was sind denn a und c? Die müssen doch besondere Bedingungen erfüllen, denn die Behauptung ist ja nicht allgemeingültig. edit: siehe unten.
Nimm z=45, b=15, d=35. Dann ist $ kgV(b,d)=105 $ und $ ggT(b,d)=5 $.
Weiter ist $ ggT(z,kgV(b,d))=ggT(45,105)=15 [mm] \not= [/mm] 5=ggT(45,5)=ggT(z,ggT(b,d)) $.
Unwahre Behauptungen sind meist schwer zu zeigen.
Du hast m.E. den Hinweis nicht beachtet, dass die Brüche gekürzt sind.
Es sei [mm] \blue{k:=ggT(b,d)} [/mm] und [mm] \blue{b=k\beta,\ d=k\delta}. [/mm] Dann ist [mm] \blue{kgV(b,d)=k\beta\delta},
[/mm]
Weiter ist [mm] \blue{ggT(a,b)=ggT(c,d)=ggT(\beta,\delta)=1}. [/mm] Unbekannt aber sind ggT(a,d) und ggT(c,b).
Dann ist [mm] \blue{\bruch{a}{b}+\bruch{c}{d}=\bruch{a}{k\beta}+\bruch{c}{k\delta}=\bruch{ak\delta+ck\beta}{k^2\beta\delta}=\bruch{a\delta+c\beta}{k\beta\delta}=\bruch{a\delta+c\beta}{kgV(b,d)}}
[/mm]
Von hier ist es nicht mehr weit. Kommst Du allein weiter?
Grüße
reverend
PS: ach, übrigens...
> Die obrige Gleichung, die ich beweisen soll
Das Wort "obrig" gibt es m.W. in keinem deutschen Sprachgebiet mehr. Es gilt als seit dem 18.Jh. ausgestorben und existiert nur noch in der Zusammensetzung "Obrigkeit". Ansonsten gilt "obig" als richtig. Aber vielleicht bin ich da auch nur nicht gut über Regionalsprachen informiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Sa 16.10.2010 | | Autor: | reverend |
Sorry, ich glaube, ich verstehe es jetzt erst. Der Hinweis in der Aufgabe ist gerade die Definition von a und b.
Hmmm. Moment mal.
Ich revidiere meine Antwort wohl gleich...
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