Beweis des 3.Logarithmusgesetz < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 So 22.05.2005 | | Autor: | Bubbaelz |
Moin, moin...
Ich habe eine Frage und zwar ob der folgende Beweis für das dritte Logarithmusgesetz richtig ist.
Zu beweisen:
[mm] log_{a} u^{v} [/mm] = v* [mm] log_{a} [/mm] u
Wir wissen
1) [mm] a^{log_{a}x} [/mm] =x
2) [mm] log_{a} a^{x}=x
[/mm]
Beweis:
1.) [mm] log_{a} [/mm] u =x Substitution/Umbenennung
2.) u= [mm] a^{x}
[/mm]
[mm] u=(a^{x})^{v}
[/mm]
3.) [mm] log_{a} u^{v}=log_{a} (a^{x})^{v} [/mm]
[mm] =log_{a} a^{x*v} [/mm] Potenzgesetze
[mm] =log_{a} a^{v*x} [/mm] Kommutativgesetz
=v*x wissen wir aus 2)
[mm] 4.)log_{a} u^{v}=v*x
[/mm]
=l* [mm] log_{a} [/mm] u Rücksubstitution
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 So 22.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Bubbaelz,
ich finde du hast das sehr kompliziert gemacht. Richtig ist: [mm] $\log_a(u)=x \gdw u=a^x$. [/mm] Nach Potenzgesetzen gilt auch [mm] $u^v=\left(a^x\right)^v=a^{vx}$.
[/mm]
Jetzt gilt: [mm] $\log_a\left(u^v\right)=\log_a\left(a^{vx}\right)=v\cdot [/mm] x=v [mm] \cdot \log_a(u)$. [/mm] Womit wir fertig sind.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 22.05.2005 | | Autor: | Bubbaelz |
versteh ich irgendwie nicht...
ist mein weg denn falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bubbaelz!
Max' Weg ist doch fast der gleiche wie Deiner. Nur daß er das ganze etwas kürzer formuliert.
Auch Dein Weg stimmt (bis auf ein/zwei Schreibfehler) :
Zu beweisen:
[mm] $\log_{a}\left(u^{v}\right) [/mm] \ = \ v * [mm] \log_{a} [/mm] (u)$
Wir wissen
1) [mm] $a^{\log_{a}(x)} [/mm] \ = \ x$
2) [mm] $\log_{a}\left(a^{x}\right) [/mm] \ = \ x$
Beweis:
1.) [mm] $\log_{a}(u) [/mm] \ = \ x$ Substitution/Umbenennung
2.) $u \ = \ [mm] a^{x}$
[/mm]
[mm] $u^{\red{v}} [/mm] \ = \ [mm] \left(a^{x}\right)^{v}$ [/mm]
Exponent $v$ auf der linkesn Seite vergessen!
3.) [mm] $\log_{a}\left(u^{v}\right) [/mm] \ = \ [mm] \log_{a} \left(a^{x}\right)^{v}$
[/mm]
$= \ [mm] \log_{a}\left(a^{x*v}\right)$ [/mm] Potenzgesetze
$= \ [mm] \log_{a}\left(a^{v*x}\right)$ [/mm] Kommutativgesetz
Unnötig (aber nicht falsch).
$= \ v*x$ wissen wir aus 2)
4.) [mm] $\log_{a}\left(u^{v}\right) [/mm] \ = \ v*x $
$= \ [mm] \red{v}*\log_{a}(u)$ [/mm] Rücksubstitution
Tippfehler: $v$ statt $l$
Gruß
Loddar
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