Beweis: Vollständige Induktion < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie: Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{k=n}^{2n-1} \bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n-1} \bruch{(-1)^{k+1}}{k} [/mm] |
Hallo,
dieser Beweis ist mit Hilfe vollständiger Induktion zu führen. Ich glaube, dass das nur funktioniert wenn mann die beiden Summen angleicht, d.h. dass bei beiden k=1 oder k=n. Leider klappt das bei mir nicht wirklich.
Vielleicht muss man es aber auch ganz anders machen.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo verachris3,
> Zeigen sie: Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
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> [mm]\summe_{k=n}^{2n-1} \bruch{1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{2n-1} \bruch{(-1)^{k+1}}{k}[/mm]
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> Hallo,
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> dieser Beweis ist mit Hilfe vollständiger Induktion zu
> führen. Ich glaube, dass das nur funktioniert wenn mann die
> beiden Summen angleicht, d.h. dass bei beiden k=1 oder k=n.
> Leider klappt das bei mir nicht wirklich.
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> Vielleicht muss man es aber auch ganz anders machen.
Nein, du hast schon Recht. Du mußt die Summenindizes entsprechend angleichen und an passender Stelle die Induktionsvoraussetzung benutzen. Also:
[mm]\underline{\texttt{Induktionsanfang }(n = 1):}[/mm]
[mm]\sum_{k=1}^{2\cdot{1}-1}{\frac{1}{k}} = \frac{1}{1} = 1 = \frac{(-1)^2}{1} = \sum_{k=1}^{2\cdot{1}-1}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}}\quad\checkmark[/mm]
Unter der Annahme, das die Aussage stimmt, machen wir den Induktionsschritt.
[mm]\underline{\texttt{Induktionsschritt }(n\leadsto n+1):}[/mm]
[mm]\sum_{k=n+1}^{2(n+1)-1}{\frac{1}{k}} = \left(\sum_{k=n}^{2(n+1)-1}{\frac{1}{k}}\right) - \frac{1}{n} = \left(\sum_{k=n}^{2n-1}{\frac{1}{k}}\right) \mathrel\textcolor{blue}{\mathrel + \frac{1}{2n}} + \frac{1}{2n+1}\mathrel\textcolor{blue}{\mathrel - \frac{1}{n}} \mathop =^{\begin{subarray}{l}\texttt{Induktions-}\\\texttt{voraussetzung}\end{subarray}} \left(\sum_{k=1}^{2n-1}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}}\right)\mathrel\textcolor{blue}{\mathrel - \frac{1}{2n}}+\frac{1}{2n+1}[/mm]
Und jetzt bist du eigentlich fast fertig. Du mußt lediglich die restlichen Summanden etwas anpassen und an die Hauptsumme "anschließen".
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mo 18.09.2006 | | Autor: | verachris3 |
Vielen vielen Dank für die Mühe!! Ich hab mir an der Aufgabe wirklich den Kopf zerbrochen!
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