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Hallo,
L ( x1 ) = x1-2x2+x3+2x4
x2 x1 -2x2 -x3 +x4
x3 -2x1 +4x2 - 2x3 - 4x4
x4 3x1 -6x2 - x3 + 4x4
Sorry das soll eine Matrix darstellen.
a) Bestimmen Sie eine Basis vom Bild von L und die Diemsnion dim ImL (=rgL)
Dim ImL = 2, da nach Zeilenstufenform rg=2 ist. Nur wie berechne ich die Basis vom Bild? Hoffe ihr könnt mir das schritt für schritt erklären?
b) Bestimmen Sie die Basis vom kern und die Diemsnion dimKernL
Das verstehe ich gar nicht.
Hoffe ihr könnt mir das erklären. Muss in 2 stunden ein aufgabenblatt abgegeben haben. *heul*
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> Hallo,
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> L ( x1 ) = x1-2x2+x3+2x4
> x2 x1 -2x2 -x3 +x4
> x3 -2x1 +4x2 - 2x3 - 4x4
> x4 3x1 -6x2 - x3 + 4x4
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> Sorry das soll eine Matrix darstellen.
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> a) Bestimmen Sie eine Basis vom Bild von L und die
> Diemsnion dim ImL (=rgL)
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> Dim ImL = 2, da nach Zeilenstufenform rg=2 ist. Nur wie
> berechne ich die Basis vom Bild?
Wenn die Dimension des Bildraumes 2 ist, ist dies einfach: nimm zuerst einen Spaltenvektor (der nicht gerade der Nullvektor ist): easy.
Dann nimm noch einen zweiten Spaltenvektor, der kein skalares Vielfaches des bereits gewählten Spaltenvektors ist: auch easy.
Dann hast Du zwei linear-unabhängige Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix von $L$. Wegen dim Im(L)=2 muss dies eine Basis des Bildraumes Im(L) sein.
> Hoffe ihr könnt mir das
> schritt für schritt erklären?
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> b) Bestimmen Sie die Basis vom kern und die Diemsnion
> dim Kern L
L ist [mm] $\IR^4\rightarrow \IR^4$. [/mm] Dann muss also die Dimension des Kernes von L gleich 4-dim Im(L)=2 sein. Allgemein gilt ja: dass der Urbildraum zerfällt in die direkten Summe von Kern von L und einem zum Bild von L isomorphen Teilraum, weshalb hier dim Im(L) + dim Kern(L)=4 sein muss.
Da Du die Zeilenstufenform der Abbildungsmatrix von L bestimmt hast, kannst Du doch die Lösungsmenge der homogen-linearen Gleichung $L [mm] \vec{x}=\vec{0}$ [/mm] recht einfach ablesen. Ich erhalte zum Beispiel, dass die allgemeine Lösung dieser Gleichung die Form [mm] $x_1=2x_2-\frac{3}{2}x_4, x_3=-\frac{1}{2}x_4$ [/mm] hat, wobei [mm] $x_2, x_4\in \IR$ [/mm] beliebig gewählt werden dürfen (was wieder für die Behauptung dim Kern(L)=2 spricht).
Diese Lösungsmenge kann man vektoriell auch so schreiben:
[mm]\pmat{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\lambda \pmat{2\\1\\0\\0}+\mu\pmat{-\frac{3}{2}\\0\\-\frac{1}{2}\\1}[/mm]
Die beiden Vektoren auf der rechten Seite sind die gesuchte Basis des Kerns von L (man könnte natürlich den zweiten Vektor durchaus auch noch mit dem Skalar 2 multiplizieren, damit man ganzzahlige Koordinaten erhält).
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