Basis eines Spaltenraumes < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{m \times n} [/mm] eine Matrix. Beachten Sie, dass die Spalten von A als ein System von n Vektoren in [mm] \IR^{m} [/mm] aufgefasst werden können. Der von diesem System erzeugte Unterraum von [mm] \IR^{m} [/mm] heißt der Spaltenraum von A.
a) Finden Sie eine Basis des Spaltenraumes der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 } [/mm] . |
Die Vektoren des angegebenen Spaltenraumes sind ja dann
[mm] v_{1} [/mm] = (1,1,2) , [mm] v_{2} [/mm] = (0,0,0) , [mm] v_{3} [/mm] = (1,0,1) , [mm] v_{4} [/mm] = (0,1,1)
da [mm] v_{1} [/mm] = [mm] v_{3} [/mm] + [mm] v_{4} [/mm] -> linear abhängig, kann [mm] v_{1} [/mm] gestirchen werden.
Kann ich auch den Nullvektor streichen, da dieser ja (außer in der leeren Menge) Element eines jeden Vektorraums ist ?
Dann würden die Beiden Vektoren [mm] v_{3} [/mm] und [mm] v_{4} [/mm] übrig bleiben und eine Basis bilden.
Stimmt das so ???
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> Sei A [mm]\in \IR^{m \times n}[/mm] eine Matrix. Beachten Sie, dass
> die Spalten von A als ein System von n Vektoren in [mm]\IR^{m}[/mm]
> aufgefasst werden können. Der von diesem System erzeugte
> Unterraum von [mm]\IR^{m}[/mm] heißt der Spaltenraum von A.
>
> a) Finden Sie eine Basis des Spaltenraumes der Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 }[/mm] .
> Die Vektoren des angegebenen Spaltenraumes sind ja dann
> [mm]v_{1}[/mm] = (1,1,2) , [mm]v_{2}[/mm] = (0,0,0) , [mm]v_{3}[/mm] = (1,0,1) ,
> [mm]v_{4}[/mm] = (0,1,1)
>
> da [mm]v_{1}[/mm] = [mm]v_{3}[/mm] + [mm]v_{4}[/mm] -> linear abhängig, kann [mm]v_{1}[/mm]
> gestirchen werden.
>
> Kann ich auch den Nullvektor streichen, da dieser ja (außer
> in der leeren Menge) Element eines jeden Vektorraums ist ?
Hallo,
nein, Du kannst ihn nicht streichen, sondern Du mußt ihn streichen.
>
> Dann würden die Beiden Vektoren [mm]v_{3}[/mm] und [mm]v_{4}[/mm] übrig
> bleiben und eine Basis bilden.
>
> Stimmt das so ???
Ja.
Ich will Dir, weil sie so schön systematisch ist und auch in unübersichtlichen Fällen geignet, noch eine Möglichkeit vorstellen, wie Du eine Basis des Spaltenraumes finden kannst:
Bringe die Matrix auf Zeilenstufenform finden:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 } [/mm] --> [mm] \pmat{ \red{1} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \red{1} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 3.Spalte, also bilden der 1. und 3. Ursprungsvektor gemeinsam eine Basis des Spaltenraumes, dh. [mm] \vektor{1\\1\\2} [/mm] und [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] bilden eine Basis.
Daß das eine andere Basis als Deine ist, muß Dich nicht erschüttern, VRe haben normalerweise viele Basen.
Gruß v. Angela
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