Basis angeben < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 25.01.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo,
hier habe ich einen Aufgabentyp der mir nicht klar ist. Ich habe einige solcher Aufgaben, aber ich weiß nicht wie man mit ihnen rechnet.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Die Aufgaben sehen z.B. so aus:
Geben Sie einem Basis A von [mm] \IR[/mm] [t][mm]_{\le 3}[/mm] an, so dass
M(B[mm]_3[/mm],f,A)= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm] ist.
Hinweis: A ist nicht eindeutig.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Grüße!
Ich fürchte hier muß ich etwas weiter ausholen... *Luft hol* 
Also, nehmen wir mal an, dass wir eine lineare Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W$ zwischen $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ gegeben haben. Beide dieser Vektorräume sollen endlichdimensional sein und wir geben uns zwei Basen vor:
[mm] $B_V [/mm] = [mm] (v_1, \ldots v_n)$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $B_W [/mm] = [mm] (w_1, \ldots, w_m)$ [/mm] eine Basis von $W$.
Wenn ich jetzt meine lineare Abbildung $f$ beschreiben möchte, dann reicht es, sie auf der Basis zu kennen. Denn jeder beliebige Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ hat eine Darstellung in der Basis, es gibt also zu diesem $v [mm] \in [/mm] V$ Skalare [mm] $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [/mm] K$ mit
$v = [mm] \sum_{j=1}^n \lambda_j v_j$.
[/mm]
Dann folgt aber wegen der Linearität von $f$:
$f(v) = [mm] f(\sum_{j=1}^n \lambda_j v_j) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n \lambda_j f(v_j)$.
[/mm]
Wenn also die Vektoren [mm] $f(v_1), \ldots, f(v_n)$ [/mm] (in $W$!) bekannt sind, kann ich jeden Bildvektor konstruieren und das gibt mir meine Abbildung.
Das muß man sich auf der Zunge zergehen lassen! Ein Vektorraum kann einen riesigen Haufen von Elementen enthalten (man denke nur an den [mm] $\IR^n$ [/mm] - das sind überabzählbar viele Vektoren!), aber es reicht, die Bilder von ENDLICH VIELEN zu kennen und schon ist meine Abbildung festgelegt!
Wie schreibt man sich diese Bilder jetzt übersichtlich hin? Na, ich kann jeden Vektor in $W$ ja in der Basis [mm] $B_W$ [/mm] darstellen. Für jedes $j$ zwischen 1 und $n$ gilt also:
[mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i$
[/mm]
wobei die [mm] $a_{ij} \in [/mm] K$ irgendwelche Werte sind. Auf die kommt es an! Wenn ich diese kenne, dann kenne ich meine Abbildung. Und so kommt es, dass man diese einfach in eine Matrix $A$ schreibt und dies die "darstellende Matrix zu $f$" nennt.
Achtung! Diese Konstruktion hängt natürlich von den Basen ab! Daher schreibt man diese oft dazu: $A = [mm] M(B_V, [/mm] f, [mm] B_W)$.
[/mm]
Ein wichtiges Problem ist nun oft zu gegebener linearer Abbildung $f$ Basen zu finden, so dass diese Matrix möglichst "schön" aussieht. Und so einen Aufgabentyp hast Du hier vor Dir!
Du hast ein $f$ gegeben (das Du uns verheimlicht hast), Dein Vektorraum ist der Raum der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ über [mm] $\IR$, [/mm] die Abbildung geht von dem Raum in sich (ist es vielleicht die Ableitung? ) und eine Basis [mm] $B_3$ [/mm] ist vorgegeben - vermutlich [mm] $B_3 [/mm] = (1, T, [mm] T^2 [/mm] , [mm] T^3)$. [/mm] Gesucht ist nun eine geeignete Basis, so dass die Matrix so aussieht.
Aber das ist bei Kenntnis der Abbildung $f$ nicht schwer. Einer der vier Basisvektoren von [mm] $B_3$ [/mm] (der letzte) geht auf 0, das sieht man schon an der Matrix. Die anderen 3 gehen irgendwohin - wähle Deine Basis A so, dass die ersten drei Vektoren der neuen Basis die Bilder der Basisvektoren unter $f$ sind! Dies ergänzt Du (wie ist egal) zu einer Basis Deines Vektorraums - dann rechnest Du nach, dass es paßt.
Alles klar? Falls nicht, lieber nochmal nachhaken! Der Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ist im Prinzip das Wichtigste, was man aus LA I mitnehmen sollte (neben der Kenntnis des Vektorraumbegriffs natürlich...)
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 25.01.2005 | | Autor: | Iceman |
Danke für deine sehr detailierte Antwort. Ähnlich habe ich es im Skript. Mir fällt es etwas schwer die Theorie richtig umzusetzen, auch wenn es sich recht leicht anhört. Vor allem, da wir zu den ganzen Sätzen, Lemmas in der Vorlesung nicht immer Beispiele bekommen.
Ist mein 1. Semester...
f habe ich ja ganz vergessen.
f ist so gegeben:
f: [mm] \IR[/mm] [t][mm]_{ \le 3} [/mm] [mm] \to \IR[/mm] [t][mm]_{ \le 3} [/mm],
g(t) [mm] \to[/mm] [mm]\bruch{d}{dt}[/mm](g(t-1))
Ich habe ja...
[mm]\bruch{d}{dt}[/mm](1 t [mm] t^2 t^3 [/mm])
Davon muss ich die Ableitung nehmen?
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Nochmal Gruß!
Also, damit das so funktioniert, muß die Grundbasis [mm] $B_3$ [/mm] richtig sortiert sein:
[mm] $B_3 [/mm] = [mm] (T^3, T^2, [/mm] T, 1)$
Die Abbildung sieht ja nach Kettenregel wie folgt aus: $f(g(T)) = g'(T - 1)$ (die innere Ableitung ist 1), also gilt:
[mm] $f(T^3) [/mm] = 3(T - [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] 3T^2 [/mm] - 6T + 3$
[mm] $f(T^2) [/mm] = 2(T - 1) = 2T - 2$
$f(T) = 1$
$f(1) = 0$
Deine Basis könnte also so aussehen: $A = [mm] (3T^2 [/mm] - 6T + 3, 2T - 2, 1, [mm] T^3)$
[/mm]
Das letzte Element dient zur Ergänzung, da die ersten drei Vektoren noch kein Erzeugendensystem bilden.
Wendet Du jetzt die allgemeine Theorie auf diese Basen an, dann siehst Du, dass die korrekte Matrix herauskommt: die Matrix ergibt sich, wenn Du die Abildung auf Deine Basisvektoren im Definitionsbereich anwendest [mm] ($f(v_j)$) [/mm] und die Bilder (die stehen oben) in der neuen Basis $A$ ausdrückst. Die Koeffizienten kommen in die Matrix.
Da die neue Basis schon aus den Bildvektoren besteht, hat die Matrix die gewünschte Form - wer's nicht glaubt, rechnet's nach. 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Iceman |
Hallo,
also haben wir wie du geschrieben hast...
A = ( [mm] 3T^2 [/mm] - 6T + 3, 2T - 2, 1, [mm] T^3 [/mm] )
Jetzt setze ich 1 für T hier:
[mm] 3T^2 [/mm] - 6T + 3 = 0
2T - 2 = -1
1
[mm] T^3 [/mm]=1
Sieht es dann so aus?
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]
Danke nochmal für deine Mühe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Fr 04.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
um hier mal zu antworten:
haben wir wie du geschrieben hast...
>
> A = ( [mm]3T^2[/mm] - 6T + 3, 2T - 2, 1, [mm]T^3[/mm] )
>
> Jetzt setze ich 1 für T hier:
warum? du brauchst Polynome - keine rellen Zahlen - T ist nur deine Variablenbezeichnung.
> [mm]3T^2[/mm] - 6T + 3 = 0
> 2T - 2 = -1
> 1
> [mm]T^3 [/mm]=1
2T-2=0 wenn T=1
entsprechend sieht die Matrix auch anders aus, aber Vorsicht:
es ist eine Matrix, die eine Abbildung von $ [mm] Pol_3 \to Pol_3 [/mm] $ repräsentiert, wenn du T=1 einsetzt erhälst du aber $ [mm] Pol_3 \to\IR [/mm] $, was nicht das selbe ist !!
[$ [mm] Pol_3 [/mm] $ soll der VR der Polynome maximal dritten Grades sein.]
Hoffe es hilft dir jetzt dennoch.
viele Grüße
DaMenge
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