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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 22.08.2007 | | Autor: | crexe |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{\infty}{\ln(x)/(x*\wurzel{x^2-1}) dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
habe hier ein Problem bei der Abschätzung (was im Punkt x=1 passiert ist mir klar):
[mm] \integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{\ln(x)/(x*\wurzel{x^2-1}) dx}<\wurzel{2}*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{\ln(x)/(x^2) dx}<\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{\wurzel{x}/(x^2) dx}
[/mm]
bei beiden abschätzungen ist mir nicht ganz klar was passiert, sonst is das Beispiel logisch (die Konvergenz des Integrals ist zu zeigen).
danke im voraus
mfg
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> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\ln(x)/(x*\wurzel{x^2-1}) dx}[/mm]
> Ich
> habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> habe hier ein Problem bei der Abschätzung (was im Punkt x=1
> passiert ist mir klar):
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> [mm]\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{\ln(x)/(x*\wurzel{x^2-1}) dx}<\wurzel{2}*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{\ln(x)/(x^2) dx}<\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{\wurzel{x}/(x^2) dx}[/mm]
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> bei beiden abschätzungen ist mir nicht ganz klar was
> passiert, sonst is das Beispiel logisch (die Konvergenz des
> Integrals ist zu zeigen).
>
Ich verstehe nicht, weshalb man diese Abschätzung zum Nachweis der Konvergenz des Integrals an der oberen Grenze überhaupt so spezifisch machen sollte. Wegen
[mm]\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac{\ln(x)}{x\sqrt{x^2-1}}}{\frac{\ln(x)}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^2}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=1[/mm]
sind [mm] $\frac{\ln(x)}{x\sqrt{x^2-1}}$ [/mm] und [mm] $\frac{\ln(x)}{x^2}$ [/mm] für den Grenzübergang [mm] $x\rightarrow +\infty$ [/mm] asymptotisch gleich, d.h. es gibt jedenfalls ein [mm] $x_0$ [/mm] und eine Konstante $k>1$, so dass für alle [mm] $x\geq x_0$ [/mm] gilt:
[mm]0\leq \frac{\ln(x)}{x\sqrt{x^2-1}}
Das genügt für den Nachweis, dass das Integral von [mm] $\frac{\ln(x)}{x\sqrt{x^2-1}}$ [/mm] an der oberen Grenze [mm] $+\infty$ [/mm] jedenfalls konvergiert, falls das Integral von [mm] $\frac{\ln(x)}{x^2}$ [/mm] an derselben oberen Grenze konvergiert.
Besser als dieser Zwischenschritt wäre gleich zu zeigen, dass
[mm]\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\frac{\ln(x)}{x\sqrt{x^2-1}}}{\frac{\sqrt{x}}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)\cdot x^2}{\sqrt{x}\cdot x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0[/mm]
weshalb ab einem gewissen [mm] $x_0$ [/mm] gelten muss, dass
[mm]0\leq \frac{\ln(x)}{x\sqrt{x^2-1}} < \frac{\sqrt{x}}{x^2}[/mm]
so dass man das Integral von [mm] $\frac{\ln(x)}{x^2}$, [/mm] das in Deiner Abschätzung dazwischengeschaltet war, gleich weglassen kann. [mm] $x_0$ [/mm] braucht man nicht zu kennen, es genügt zu wissen, dass es ein solches [mm] $x_0$ [/mm] gibt: das genügt für den Nachweis der Konvergenz an der oberen Grenze [mm] $+\infty$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mi 22.08.2007 | | Autor: | crexe |
vielen dank für die schnelle antwort.
diese abschätzungen stammen aus der musterlösung dieses beispiels, und ich hab einfach ned genau mitkriegt wie hier abgeschätzt wird.
mfg
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