Ableitung von arctanh < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Do 17.02.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie arctanh'(x) = [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm] |
Hey Leute,ich weiß nimmer weiter:(
Bin soweit gekommen:
[mm] tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{cosh^2-sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-\bruch{sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-1=tanh^2-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow f^{-1}(x)=\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}
[/mm]
also ist [mm] arctanh'(x)=\bruch{1}{tanh^{2}(arctanh(x))^{-1}}=\bruch{1}{x^2-1}
[/mm]
die Sache ist, das da laut Lösung eigentlich [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm] rauskommen sollte. Der Fehler liegt wohl bei der Anwendung der Quotientenregel, denn in der Lösung wurde folgedens erhalten:
[mm] tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{-sin sinh-cosh cosh}{cosh^2}=\bruch{cosh^2}{cosh^2}-\bruch{sinh^2}{cosh^2}=1-tanh^2
[/mm]
jetzt weiß ich nicht wieso die quotientenregel so umgewurschtelt wurde...kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie arctanh'(x) = [mm]\bruch{1}{1-x^2}[/mm]
> Hey Leute,ich weiß nimmer weiter:(
> Bin soweit gekommen:
>
> [mm]tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{cosh^2-sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-\bruch{sinh^2}{sinh^2}=\bruch{cosh^2}{sinh^2}-1=tanh^2-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow f^{-1}(x)=\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]
Nach dem 2. "=" wirds falsch: im Nenner muß [mm] cosh^2 [/mm] stehen.
> also ist
> [mm]arctanh'(x)=\bruch{1}{tanh^{2}(arctanh(x))^{-1}}=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> die Sache ist, das da laut Lösung eigentlich
> [mm]\bruch{1}{1-x^2}[/mm] rauskommen sollte. Der Fehler liegt wohl
> bei der Anwendung der Quotientenregel, denn in der Lösung
> wurde folgedens erhalten:
> [mm]tanh'(x)=\bruch{sinh}{cosh}=\bruch{-sin sinh-cosh cosh}{cosh^2}=\bruch{cosh^2}{cosh^2}-\bruch{sinh^2}{cosh^2}=1-tanh^2[/mm]
Wo kommt das "-" im 2. Bruch vor dem cosh her ?
FRED
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> jetzt weiß ich nicht wieso die quotientenregel so
> umgewurschtelt wurde...kann mir jemand helfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Do 17.02.2011 | | Autor: | frank85 |
Oh man, wie dämlich ich bin....hab echt nicht gesehen das der Nenner cosh zu cosh² wird, und nicht zur Ableitung,also sinh. Wie ich Mathe mag....^^
Danke Fred! Werde jetzt weitermachen,Klausur ist Samstag schon :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh man, wie dämlich ich bin....hab echt nicht gesehen das
> der Nenner cosh zu cosh² wird, und nicht zur
> Ableitung,also sinh. Wie ich Mathe mag....^^
> Danke Fred! Werde jetzt weitermachen,Klausur ist Samstag
Viel Glück
FRED
> schon :(
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