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Lebesgue-Borelsches_Maß
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Lebesgue-Borelsches Maß

Definition Lebesgue-Borelsches Maß

Es seien

Dann heißt das (eindeutig bestimmte) Maß $ \lambda^n $ auf $ \mathcal{B}^n $, das jedem Intervall $ I\in\mathcal{I}^n $ dessen n-dimensionalen Elementarinhalt zuordnet, heißt Lebesgue-Borelsches Maß (L-B-Maß).

Weitere Eigenschaften

  • Das L-B-Maß $ \lambda^n $ ist die Fortsetzung des Lebesgueschen Prämaßes.
  • Das L-B-Maß ist $\sigma$-endlich.
  • Das L-B-Maß ist ein Borel-Maß.
  • Das L-B-Maß ist translationsinvariant.
  • Für jedes $ \alpha\in\IR^+ $ ist $ \alpha\lambda^n $ ebenfalls ein translationsinvariantes Maß auf $ \mathcal{B}^n $.
  • $ \mu $ translationsinvariantes Maß auf $ \mathcal{B}^n $ (also $ T_a(\mu)=\mu $ für jede Translation $ x\mapsto T_a(x):=a+x $), $ \alpha:=\mu(W)<+\infty $ (W Einheitswürfel) $ \Rightarrow $ $ \mu=\alpha\lambda^n $
  • Das L-B-Maß ist bereits durch seine Translationsinvarianz und die Normierung $ \lambda^n(\left[0,1\right[)=1 $ (wobei $ \left[0,1\right[ $ ein n-dimensionales Intervall ist; n-dimensionaler Einheitswürfel) eindeutig bestimmt.
  • Das L-B-Maß ist bewegungsinvariant, d.h. $ T(\lambda^n)=\lambda^n $ für alle $ T\in\mathrm{Bew}(\IR^n) $
  • Das L-B-Maß ist invariant gegenüber allen $ T\in\mathrm{GL}(n,\IR) $ mit $ |\mathrm{det} T|=1 $
  • Das L-B-Maß ist nicht invariant gegenüber beliebigen Homöomorphien $ T:\ \IR^n\to\IR^n $
  • Die Vervollständigung des L-B-Maßes (also die Fortsetzung des L-B-Maßes auf diejenige kleinste $ \sigma $-Algebra, die $ \mathcal{B}^n $ enthält und alle Teilmengen von L-B-Nullmengen) heißt Lebesgue-Maß.

Literatur: isbn3110136252

Erstellt: Mi 01.10.2008 von Marc
Letzte Änderung: Do 02.10.2008 um 19:59 von Marc
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